Questão 3

Matemática

(ITA - 2017 - 2ª FASE)

Considere o polinômio

$p(x)=x^{4}-(1+2sqrt{3})x^{3}+(3+2sqrt{3})x^{2}-(1+4sqrt{3})x+2.$

a) Determine os números reais a e b tais que $p(x)=(x^{2}+ax+1)(x^{2}+bx+2).$

b) Determine as raízes de p(x).

Gabarito:

Resolução:

$p(x)=x^{4}-(1+2sqrt{3})x^{3}+(3+2sqrt{3})x^{2}-(1+4sqrt{3})x+2.$

a) Determine os números reais a e b tais que $p(x)=(x^{2}+ax+1)(x^{2}+bx+2).$

$x^{4}-(1+2sqrt{3})x^{3}+(3+2sqrt{3})x^{2}-(1+4sqrt{3})x+2. = (x^2+ax+1)(x^2+bx+2)$

desenvolvendo o produto no lado direito da equação:

$x^{4}-(1+2sqrt{3})x^{3}+(3+2sqrt{3})x^{2}-(1+4sqrt{3})x+2. = x^4+bx^3+2x^+ax^3+abx^2+2ax+x^2+bx+2$

$x^{4}-(1+2sqrt{3})x^{3}+(3+2sqrt{3})x^{2}-(1+4sqrt{3})x+2. = x^4+(a+b)x^3+(3+ab)x^2+(2a+b)x+2$

Dessa igualdade retiramos o seguinte sistema:

$egin{cases} a+b=-1-2sqrt{3} \ 3+ab=3+2sqrt{3} \ 2a+b=-1-4sqrt{3} end{cases}$

subtraindo a primeira equação da terceira:

$a=-1-4sqrt{3}-(-1-2sqrt{3})$

$a=-2sqrt{3}$
$b=-1$

b) Determine as raízes de p(x).

$p(x)=(x^{2}+ax+1)(x^{2}+bx+2).$
$p(x)=(x^{2}-2sqrt{3}x+1)(x^{2}-x+2)=0$

Isso ocorre se
$(x^{2}-2sqrt{3}x+1)=0$ ou $(x^{2}-x+2)=0$ , aplicando baskhara:

$(x^{2}-2sqrt{3}x+1)=0$

$x=frac{-(-2sqrt{3})pmsqrt{(-2sqrt{3})^2-4(1)(1)}}{2(1)}$

$x=sqrt{3}+sqrt{2},:x=sqrt{3}-sqrt{2}$

$(x^{2}-x+2)=0$

$x_{1,:2}=frac{-left(-1 ight)pm sqrt{left(-1 ight)^2-4cdot :1cdot :2}}{2cdot :1}$
$x=frac{1}{2}+ifrac{sqrt{7}}{2},:x=frac{1}{2}-ifrac{sqrt{7}}{2}$