Questão 5

ITA 2017

Matemática

(ITA - 2017 - 2ª FASE)

Sejam A={1,2, ..., 29, 30} o conjunto dos números inteiros de 1 a 30 e (a₁, a₂, a₃) uma progressão geométrica crescente com elementos de A e razão q > 1.

a) Determine todas as progressões geométricas (a₁, a₂, a₃) de razão $q = frac{3}{2}$ .

b) Escreva $q = frac{m}{n},$ com $m, n in mathbb{Z} ; e ; mdc(m,n) =1.$ Determine o maior valor possível para n.

Gabarito:

Resolução:

Na letra a temos que (a₁, a₂, a₃) é uma PG crescente com elementos de A e razão q=3/2.

Reescrevendo os termos da PG em função de a₁, encontramos:

$(a_1, frac{3a_1}{2},frac{9a_1}{4})$

Para garantir que os termos da PG serão inteiros positivos,

$a_1=4n, n in mathbb{N}^*$

$(4n, 6n, 9n)$

Para n=1, temos:

(4, 6, 9)

Para n=2, temos:

(8, 12, 18)

Para n=3, temos:

(12, 18, 27)

Para n=4, a₃=36 e 36 não pertence ao conjunto A.

Sendo assim, as únicas sequências possíveis para (a₁, a₂, a₃) são:

a) (4;6;9), (8; 12; 18) e (12; 18; 27)

Na letra b, temos que (a₁, a₂, a₃) é uma PG crescente com elementos de A e razão q=m/n.

Reescrevendo os termos da PG em função de a₁, encontramos:

$(a_1, frac{m}{n}cdot a_1,frac{m^2}{n^2}cdot a_1)$

Para garantir que os termos da PG serão inteiros positivos,

$a_1=n^2cdot p, p in mathbb{N}^*$

$(n^2cdot p, mncdot p, m^2cdot p)$

a₃ deve ser menor ou igual a 30 para que os elementos da sequência pertençam ao conjunto A:

$m^2cdot pleqslant 30$

Se p=1, $mleqslant 5$

Para que a PG seja crescente, m>n.

Assim, o maior valor de n que satisfaz m>n e mdc(m,n)=1 é n=4.

b) n = 4

A PG com m=5 e n=4 e q=5/4 será (16,20,25)

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