Questão 3

ITA 2017

Matemática

(ITA - 2017 - 1ª FASE)

Sejam a, b, c, d $in mathbb{R}.$ Suponha que a, b, c, d formem, nesta ordem, uma progressão geométrica e que a,b/2,c/4,d-140 formem, nesta ordem, uma progressão aritmética. Então, o valor de d - b é

-140

-120

120

140

Gabarito:

120

Resolução:

Temos que:

$(a, b, c, d)$ é um Progressão Geométrica

$(a, frac{b}{2}, frac{c}{4}, d-140)$ é uma Progressão Aritmética

Vamos reescrever a P.G. colocando cada elemento dela como um produto do primeiro termo pela razão $q$ :

$(a, aq, aq^2, aq^3)$

Com os dados acima podemos montar um sistema de equações, considerando a relação entre os termos de uma P.A. Ou seja, a razão de uma P.A. pode ser obtida subtraindo de um termo qualquer o seu antecessor. Subtraimos, então o primeiro termo do segundo e o segundo termo do terceiro:

$left{egin{matrix} frac{aq}{2} - a = r \ frac{aq^2}{4} - frac{aq}{2} = r end{matrix} ight. Rightarrow frac{aq}{2} - a = frac{aq^2}{4} - frac{aq}{2} Rightarrow a(frac{q}{2}-1) = a(frac{q^2}{4}-frac{q}{2})\ \ Rightarrow q- frac{q^2}{4}-1=0 Rightarrow mathbf{-q^2+4q-4=0}$

Ao resolver essa equação de 2º grau, encontramos que:

$Delta = 16-4(-1)(-4) = 0 qquad Rightarrow qquad frac{-b}{2a}=frac{-4}{2(-1)}=2$

A razão da P.G. é, então, igual a $2$

Voltando ao sistema e fazendo a substituição do valor encontrado em uma das equações, temos que:

$frac{aq}{2} - a = r quad Rightarrow quad frac{a2}{2} - a = r quad Rightarrow quad r=0$

A razão da P.A. é, então, igual a $0$

Montemos agora um segundo sistema de duas equações para encontrarmos os valores de $b$ e $d$ . A primeira equação leva em consideração que $d=q^2b Rightarrow d=4b$ (P.G.) e a segunda equação leva em consideração que todos os termos da P.A. são iguais (a razão da P.A. é $0$ ), ou seja: $d-140=frac{b}{2}$ .

$left{egin{matrix}d=4b \ d-140=frac{b}{2} end{matrix} ight. ; Rightarrow ; b=40, : d=160$

$d-b=160-40=120$

Questão 3

ITA 2017

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