Questão 10

ITA 2017

Matemática

(ITA - 2017 - 2ª FASE)

Considere o cubo ABCDEFGH de aresta 2 tal que: ABCD é o quadrado de base inferior; EFGH, o quadrado da base superior e $ar{AE},ar{BF},ar{CG},ar{DH}$ são arestas verticais. Sejam L, M e N os pontos médios das arestas $ar{AB},ar{CG},ar{GH}$ respectivamente. Determine a área do triângulo LMN.

Gabarito:

Resolução:

Para calcular a Área do Triângulo LMN, devemos fazer $A = frac{1}{2} bh$

O ângulo $L widehat{M} N$ é reto, portanto podemos considerar:

base = b = LM

altura = h = MN

(*) $A = frac{1}{2} overline{LM}cdot overline{MN}$

LM é hipotenusa do triângulo LMC.

(1) $overline{LM}^2= overline{LC}^2+overline{CM}^2$

Usando teorema de Pitágoras no triângulo LBC, encontramos $overline{LC}=sqrt5$

CM mede metade da aresta do cubo, portanto $overline{CM}=1$

Substituindo LC e CM em (1), temos:

$overline{LM}^2= sqrt5^2+1^2$

$overline{LM}^2= 6$

(i) $overline{LM}= sqrt6$

Podemos calcular a medida de MN como a hipotenusa do triângulo MGN:

Assim sendo,

(ii) $overline{MN}= sqrt2$

Substituindo (i) e (ii) em (*):

$A = frac{1}{2} sqrt6 cdot sqrt2$

$A = frac{1}{2} sqrt12$

$A = sqrt3$

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