Questão 12

ITA 2017

Matemática

(ITA - 2017 - 1ª FASE)

Considere dois círculos no primeiro quadrante:

$C_1$ com centro $(x_1,y_1)$ , raio $r_1$ e área $frac{pi}{16}$ .
$C_2$ com centro $(x_2,y_2)$ , raio $r_2$ e área $144pi$

Sabendo que $(x_1,y_1,r_1)$ e $(x_2,y_2,r_2)$ são duas progressões geométricas com somas dos termos iguais a $7/4$ e $21$ , respectivamente, então a distância entre os centros de $C_1$ e $C_2$ é igual a

$frac{sqrt{123}}{2}$ .

$frac{sqrt{129}}{2}$ .

$frac{sqrt{131}}{2}$ .

$frac{sqrt{135}}{2}$ .

$frac{sqrt{137}}{2}$ .

Gabarito:

$frac{sqrt{137}}{2}$ .

Resolução:

Como os círculos estão no primeiro quadrante, devemos ter, de início, que $x_1>0 , y_1>0 , x_2>0 , y_2>0$

Área de $C_1$ : $picdot r_1^2=frac{pi}{16} ightarrow r_1=frac{1}{4}$

Temos então o seguinte sistema: $left{egin{matrix} x_1cdot q_1^2=frac{1}{4}\ x_1+x_1cdot q+frac{1}{4}=frac{7}{4} end{matrix} ight. ightarrow left{egin{matrix} x_1cdot q_1^2=frac{1}{4}\ x_1cdot(1+q)=frac{3}{2} end{matrix} ight.$ , com $q_1>0$ , já que $x_1>0 e y_1>0$

Dividindo uma equação pela outra, temos: $frac{q_1^2}{q_1+1}=frac{frac{1}{4}}{frac{3}{2}} ightarrow frac{q_1^2}{q_1+1}=frac{1}{6} ightarrow 6cdot q_1^2-q_1-1=0 ightarrow q_1=frac{1pm sqrt{25}}{12}$

Logo, já descartando o valor negativo de $q_1$ , temos $q_1=1/2$

Portanto, substituindo na primeira equação do sistema: $x_1cdot q_1^2=frac{1}{4} ightarrow x_1cdotfrac{1}{4}=frac{1}{4} ightarrow x_1=1$

Logo, $y_1=frac{1}{2}$

Área de $C_2$ : $picdot r_2^2=144pi ightarrow r_2=12$

Temos então o seguinte sistema: $left{egin{matrix} x_2cdot q_2^2=12\ x_2+x_2cdot q_2+12=21 end{matrix} ight. ightarrow left{egin{matrix} x_2cdot q_2^2=12\ x_2cdot(1+q_2)=9 end{matrix} ight.$

Dividindo uma equação pela outra, temos: $frac{q_2^2}{q_2+1}=frac{12}{9} ightarrow frac{q_2^2}{q_2+1}=frac{4}{3} ightarrow 3cdot q_1^2-4cdot q_2-4=0 ightarrow q_2=frac{4pm sqrt{64}}{6}$