Questão 13

ITA 2017

Matemática

(ITA - 2017 - 1ª FASE)

Das afirmações:

Todo número inteiro positivo pode ser escrito, de maneira única, na forma 2^k−1(2m−1), em que k e m são inteiros positivos.
Existe um número x ∈ [0,π/2] de tal modo que os números a₁ = senx, a₂ = sen(x + π/4), a₃ = sen(x + π/2) e a₄ = sen(x + 3π/4) estejam, nesta ordem, em progressão geométrica.
Existe um número inteiro primo tal que é um número racional.

É (são) verdadeira(s)

apenas I

apenas II

apenas III

apenas I e II

todas

Gabarito:

apenas I

Resolução:

I - Verdadeira

II - Falsa

Existe um número x ∈ [0,π/2] de tal modo que os números a₁ = senx, a₂ = sen(x + π/4), a₃ = sen(x + π/2) e a₄ = sen(x + 3π/4) estejam, nesta ordem, em progressão geométrica.

Como eles estão em progressão geométrica, podemos dizer que: $a_1 cdot a_4 = a_2 cdot a_3$

$sin (x) cdot sin (x+frac{3pi}{4})= sin (x+frac{pi}{4}) cdot sin (x+frac{pi}{2})$

Aplicando $sin left(s+t ight)=cos left(s ight)sin left(t ight)+cos left(t ight)sin left(s ight)$ :

$\ sin (x) cdot (cos left(x ight)sin left(frac{3pi }{4} ight)+cos left(frac{3pi }{4} ight)sin left(x ight))= (cos left(x ight)sin left(frac{pi }{4} ight)+cos left(frac{pi }{4} ight)sin left(x ight)) cdot (cos left(x ight)sin left(frac{pi }{2} ight)+cos left(frac{pi }{2} ight)sin left(x ight))$

Desenvolvendo:

$frac{sqrt{2}sin left(x ight)left(cos left(x ight)-sin left(x ight) ight)}{2}= frac{sqrt{2}cos left(x ight)left(cos left(x ight)+sin left(x ight) ight)}{2}$

$sin :left(x ight)left(cos :left(x ight)-sin :left(x ight) ight)=cos :left(x ight)left(cos :left(x ight)+sin :left(x ight) ight)$

$sin left(x ight)cos left(x ight)-sin ^2left(x ight)=cos ^2left(x ight)+cos left(x ight)sin left(x ight)$

$cos ^2left(x ight)+sin ^2left(x ight)=0$

Falso

III - Falsa

Questão 13

ITA 2017

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