Questão 20
ITA 2017
(ITA - 2017 - 1ª FASE)
Considere o triângulo ABC, em que os segmentos AC, CB e AB medem, respectivamente, 10 cm, 15 cm e 20 cm. Seja D um ponto do segmento AB de tal modo que CD é bissetriz do ângulo e seja E um ponto do prolongamento de CD, na direção de D, tal que
. A medida, em cm, de CE é
Gabarito:
Resolução:
Considerando a imagem acima que representa o enunciado temos:
A resposta que queremos é o valor de m+n, mas primeiro devemos determinar x e faremos isso pelo teorema da bissetriz interna.
x/10 = (20-x)/15
1,5x = 20-x
2,5x = 20
x = 8.
AD = 8, DB = 12.
Os triângulos ADC e EBC são semelhantes, e os triângulos ADC e EDB também de modo que podemos escrever o seguinte sistema:
10/m+n = m/15
8/n = m/12
Reescrevendo:
150 = m² + mn
96 = mn
Logo m² = 150-96