Questão 24930

ITA 2018

Física

(ITA - 2018 - 1ª FASE) Considere quatro cargas fixadas sobre o eixo x orientado para a direita. Duas delas, −q₁ e +q₁ separadas por uma distância a₁ formam o sistema 1 e as outras duas, −q₂ e +q₂ separadas por uma distância a₂ ,formam o sistema 2. Considerando que ambos os sistemas estão separados por uma distância r muito maior que a₁ e a₂ conforme a figura, e que (1 + z)^-2 ≃ 1 − 2z + 3z² para z ≪ 1, a força exercida pelo sistema 1 sobre o sistema 2 é

Gabarito:

Resolução:

A)Força de repulsão(F₁) de -q₁ em -q₂:

$F_{1}=k.frac{q_{1}.q_{2}}{(r+a_{1})^{2}}$

$F_{1}=k.q_{1}.q_{2}.frac{r^{-2}}{(1+frac{a_{1}}{r})^{2}}=kq_{1}q_{2}.frac{r^{-2}}{(1+z)^{2}}$

$F_{1}=kq_{i}q_{2}.r^{-2}.(1+z)^{-2}=kq_{1}q_{2}.r^{-2}.(1-2z+3z^{2})$

$F_{1}=kq_{i}q_{2}.r^{-2}.(1-frac{2a_{1}}{r}+3frac{a_{1}^{2}}{r^{2}}) (A)$

B)Força de atração(F₂) de +q₁ em -q₂:

$F_{2}=k.frac{q_{1}.q_{2}}{r^{2}}=k.q_{1}.q_{2}.r^{-2} (B)$

C)Força de atração(F₃) de -q₁ em +q₂:

$F_{3}=k.frac{q_{1}.q_{2}}{(r+a_{1}+a_{2})^{2}}=k.q_{1}.q_{2}frac{r^{2}}{(1+frac{a_{1}+a_{2}}{r})^{2}}$

$F_{3}=k.q_{1}.q_{2}.frac{r^{-2}}{(1+z)^{2}}$

$F_{3}=k.q_{1}.q_{2}.r^{-2}[1-2(frac{a_{1}+a_{2}}{r})+3(frac{a_{1}+a_{2}}{r})^{2}]$

D))Força de repulsão(F₄) de +q₁ em +q₂:

$F_{4}=k.frac{q_{1}.q_{2}}{(r+a_{2})^{2}}=k.frac{q_{1}.q_{2}}{(r+z")^{2}}$

$F_{4}=k.q_{1}.q_{2}.r^{-2}.(1-2.frac{a_{2}}{r}+3.frac{a_{2}^{2}}{r^{2}})$

E)Considerando o eixo x, como o sentido positivo, temos a força resultante do sistema 1 sobre o sistema 2:

$F_{res}=+F_{1}-F_{2}-F_{3}+F_{4}$

$F_{res}=k.q_{1}.q_{2}.r^{-2}[1-frac{2a_{1}}{r}+3frac{a_{1}^{2}}{r^{2}}-1-1+2(frac{a_{1}+a_{2}}{r})-3(frac{a_{1}+a_{2}}{r})^{2}+1-2frac{a_{2}}{r}+frac{3a_{2}^{2}}{r^{2}}]$

$F_{res}=k.q_{1}.q_{2}.r^{-2}[3frac{a_{1}^{2}}{r^{2}}+frac{3a_{2}^{2}}{r^{2}}-3(frac{a^{2}_{1}+2a_{1}a_{2}+a_{2}^{2}}{r^{2}})]$

$F_{res}=-k.q_{1}.q_{2}.r^{-2}(frac{6a_{1}a_{2}}{r^{2}})$

$F_{res}=-6k.q_{1}.q_{2}.frac{a_{1}a_{2}}{r^{4}}$

$F_{res}=- frac{6}{4pi epsilon _{0}}.frac{q_{1}.q_{2}.a_{1}.a_{2}}{r^{4}}$

Chegamos assim, à alternativa D.

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