Questão 6

ITA 2018

Matemática

(ITA - 2018 - 1 FASE)

Sobre duas retas paralelas $r$ e $s$ são tomados 13 pontos, $m$ pontos em $r$ e $n$ pontos em $s$ , sendo $m$ > $n$ . Com os pontos são formados todos os triângulos e quadriláteros convexos possíveis. Sabe - se que o quociente entre o números de quadriláteros e o número de triângulos é 15/11. Então os valores de $n$ e $m$ são, respectivamente:

2 e 11

3 e 10

4 e 9

5 e 8

6 e 7

Gabarito:

6 e 7

Resolução:

O número de triângulos é igual ao número de formas de escolher um ponto em uma reta e dois na outra:

$m(frac{n}{2}) + n(frac{m}{2})$

O número de quadriláteros é igual ao número de formas de tomar dois pontos em cada reta:

$(frac{m}{2}) . (frac{n}{2})$

Como $m > n > 1$ e $m + n = 13$ , temos:

$frac{11}{15} = frac{m(frac{n}{2})+n(frac{m}{2})}{(frac{n}{2}) . (frac{m}{2})}$

$frac{11}{15} = frac{m}{frac{m(m-1)}{2}} + frac{n}{frac{n(n-1)}{2}}$

$frac{11}{15} = frac{2}{m - 1} + frac{2}{n-1}$

$11 . (m - 1) . (n - 1) = 30 (m + n - 2)$

$11 . (m - 1)(13 - m - 1) = 30 . (13 - 2)$

$m^{2} - 13m + 42 = 0$

$m = 6$ ou $m = 7$

Conclusão:

$m = 7$ e $n = 6$ , uma vez que $m > n = 13 - m$

Questões relacionadas

Questão 19

(ITA - 2018 - 1 FASE) São dadas duas caixas, uma delas contém três bolas brancas e duas pretas e a outra contém duas bolas brancas e uma preta. Retira-se, ao acaso, uma bol...

Ver questão

Questão 32594

(ITA - 2018 - 1 FASE) Sejam e números inteiros positivos. Se e são, nessa ordem, termos consecutivos de uma progressão geométri...

Ver questão

Questão 6

(ITA - 2018 - 2ª FASE) De uma caixa que contém 10 bolas brancas e 6 bolas pretas, são selecionadas ao acaso k bolas. a) Qual a probabilidade de que exatamente r bolas sejam b...

Ver questão

Questão 12

(ITA - 2018 - 1 FASE) Com relação à equação , podemos afirmar que

Ver questão