Questão 13

ITA 2018

Matemática

(ITA - 2018 - 1ª FASE) Sejam A e B matrizes quadradas $n imes n$ tais que $A+B=Acdot B$ e $I_{n}$ a matriz identidade $n imes n$ . Das afirmações:

I. $I_{n}-B$ é inversível;

II. $I_{n}-A$ é inversível;

III. $Acdot B=Bcdot A$ .

é (são) verdadeira(s)

Somente I.

Somente II.

Somente III.

Somente I e II.

Todas.

Gabarito:

Todas.

Resolução:

Pode-se considerar a afirmativa III verdadeira, uma vez que sob $(1_{n}-A).(1_{n}-B)=1_{n}$ $Rightarrow$ $(1_{n}-B)(1_{n}-A)$ , podemos obter:

$1_{n}^{2}-A-B+BA=1_{n}$

$1_{n}-(A+B)+BA=1_{n}$

$-AB +BA=0$

$BA=AB$

Pode-se considerar as afirmativas II e I verdadeiras a partir do seguinte raciocínio:

$(1_{n}-A).(1_{n}-B)=1_{n}^{2}-B-A+AB=1_{n}-(B+A)+AB=1_{n}-AB+AB$ $=1_{n}$

Sendo assim, $det[(1_{n}-A).(1_{n}-B)]=det1_{n}=1$

$det(1_{n}-A) eq 0$

Logo $1_{n}-A$ é inversível, e

$det(1_{n}-B) eq 0$ ,

Logo, $1_{n}-B$ é inversível.

Gabarito: e)

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