Questão 10

ITA 2018

Matemática

(ITA - 2018 - 1 FASE)

O lugar geométrico das soluções da equação x² + bx + 1 = 0, quando $left | b ight |$ < 2, b ∈ $mathbb{R}$ , é representado no plano complexo por

dois pontos.

um segmento de reta.

uma circunferência menos dois pontos.

uma circunferência menos um ponto.

uma circunferência.

Gabarito:

uma circunferência menos dois pontos.

Resolução:

Com o discriminante: $Delta = b^{2}-4.1.1= b^{2}-4 < 4-4=0$ , as soluções dessa equação são complexas não reais conjugadas ( $a$ e $ar{a}$ ).

Efetuando produto e soma desses elementos, temos: $a ar{a}=1 Leftrightarrow egin{vmatrix} a end{vmatrix}^{2} =1Leftrightarrow egin{vmatrix} a end{vmatrix}=1$ e $a +ar{a}=-bLeftrightarrow 2Re(a)=-b$

Tendo em vista que $Re(a)=frac{-b}{2}$ assume integralmente os valores do intervalo $[ frac{-2}{2}; frac{2}{2}] = [-1;1]$ e $[a]=1$ , o lugar geométrico das raízes da equação é a circunferência unitária de centro na origem, exceto 1 e –1.

Alternativa c)

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