Questão 11

ITA 2018

Matemática

(ITA - 2018 - 1 FASE)

Em um triângulo de vértices A, B e C são dados $hat{B}$ = π/2, $hat{C}$ = π/3 e o lado BC = 1 cm. Se o lado $ar{AB}$ é o diâmetro de uma circunferência, então a área da parte do triângulo ABC externa à circunferência, em cm², é

$frac{pi }{8}-frac{3sqrt{3}}{16}.$

$frac{5sqrt{3}}{4}-frac{pi }{2}$ .

$frac{5pi }{8}-frac{3sqrt{3}}{4}.$

$frac{5sqrt{3}}{16}-frac{pi }{8}$ .

$frac{5pi }{8}-frac{3sqrt{3}}{16}.$

Gabarito:

$frac{5sqrt{3}}{16}-frac{pi }{8}$ .

Resolução:

Com o seguinte triângulo (ABC, retângulo em B: $m(hat{A})= Pi -frac{Pi }{2}-frac{Pi }{3}= frac{Pi }{6}$ e $AB=bc.tgfrac{Pi }{3}=sqrt{3}$ , de modo que o raio da circunferência dada ω é $frac{ab}{2}=frac{sqrt{3}}{2}$ .

Consideremos $D eq A$ e $O$ o centro de ω, a intersecção de ω e $ar{AC}$ , $m (ar{AOD}) = pi -2.m(ar{A})=pi-2frac{pi }{6} = frac{2pi }{3}$

Sendo assim, podemos subtrair a área(S1) de um setor circular e a área (S2) do triângulo $AOD$ para encontrar a área S:

s = $frac{AB.BC}{2}-frac{AO.OD.sen(ar{AOD})}{2}-frac{frac{pi }{3}}{2pi }. pi (frac{sqrt{3}}{2})^{2}$ = $frac{sqrt{3}.1}{2}- frac{frac{sqrt{3}}{2}.frac{sqrt{3}}{2}.frac{sqrt{3}}{2}}{2}-frac{pi }{8}$ =

$frac{5sqrt{3}}{16}-frac{pi }{8}$ Alternativa d)

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