Questão 20

ITA 2018

Matemática

(ITA - 2018 - 1 FASE)

Para que o sistema $left{egin{matrix} x+y=1\ x^{3}+y^{3}=c^{2} end{matrix} ight.$ admita apenas soluções reais, todos os valores reais de c pertencem ao conjunto

$]-infty ,-frac{1}{4}[$

$]-infty ,-frac{1}{4}[cup [frac{1}{4},infty [$

$[-frac{1}{2} ,-frac{1}{4}]$

$[frac{1}{2} ,infty [$

$]-infty ,-frac{1}{2}]cup [frac{1}{2},infty [$

Gabarito:

$]-infty ,-frac{1}{2}]cup [frac{1}{2},infty [$

Resolução:

Admitimos, então:

$Rightarrow$ $Rightarrow$

O sistema somente possibilita soluções reais somente se a equação $3x^{2}-3x+(1-c^{2}) =0$ possui $Delta geq 0$ .

Desse modo:

$(-3)^{2}-4.3(1-c^{2})geq 0$

$c^{2}geq frac{1}{4}$

$cleq frac{-1}{2}$

$cgeq frac{1}{2}$

Gabarito: e)

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