Questão 3

ITA 2018

Matemática

(ITA - 2018 - 2ª FASE)

No plano cartesiano são dadas as circunferências $C_1:x^2+y^2 = 1$ e $C_2:(x-4)^2+y^2 = 4$ . Determine o centro e o raio de uma circunferência C tangente simultaneamente a C₁ e C₂, passando pelo ponto $A = (3, sqrt3).$

Gabarito:

Resolução:

Com os dados fornecidos pelo enunciado, conseguimos desenhar as duas circunferências no plano cartesiano e marcar o ponto A, que estará na na circunferência C₂. Segue o esquema abaixo:

Agora temos duas possibilidades para a circunferência C que tangencia as demais e passa pelo ponto A. A circunferência C, de centro (a,b), pode ser tangente externamente às outras duas ou tangente externa à C₁ e interna a C₂. Como mostra o seguinte esquema:

A reta que passa pelo centro C₂ e pelo ponto A tem coeficiente angular igual a:

$m = frac{sqrt{3}-0}{3-4} = -sqrt{3}$

Com isso podemos construir a reta s tangente a circunferência C₂ que passa pelo ponto A, que terá equação:

$y - sqrt{3} = frac{1}{sqrt{3}}(x-3) Rightarrow x-sqrt{3}y = 0$

Com isso podemos montar duas figuras, mostradas a seguir e trabalharmos nelas para descobrir o raio r, da circunferência C.

Olhando para o triângulo retângulo OAC (vale notar que o mesmo vale para as duas figuras), temos:

$(r+1)^2 = left (sqrt{(3-0)^2+(sqrt{3}-0)^2} ight )^2 + r^2 Rightarrow$

$Rightarrow r^2 + 2r + 1 = 12 + r^2 Rightarrow r = frac{11}{2}$

Além disso, temos que:

(i) Os pontos C, A e B são colineares, portanto a área definida pelos pontos é igual a zero, com isso podemos usar que:

$left| egin{array}{rcr} a & b & 1 \ 3 & sqrt{3} & 1\ 4 & 0 & 1 end{array} ight| = 0 Leftrightarrow sqrt{3}a + b = 4sqrt{3}$

(ii) A distância da reta s até C (a,b) é equivalente a r, portanto:

$frac{left | a-sqrt{3} ight |}{sqrt{1^2+(-sqrt{3})^2}} = frac{11}{2} Leftrightarrow left | a-sqrt{3}b ight | = 11$

Logo: $a - sqrt{3}b = 11$ ou $a - sqrt{3}b = -11$

Usando os itens (i) e (ii) conseguimos montar dois sistemas e assim encontrar as coordenadas dos dois pontos C. Temos:

$egin{cases} sqrt{3}a+b = 4sqrt{3}\ a - sqrt{3}b = 11 end{cases} Rightarrow$ $a = frac{23}{4}$ e $b = -frac{7sqrt{3}}{4}$ , ou

$egin{cases} sqrt{3}a+b = 4sqrt{3}\ a - sqrt{3}b = -11 end{cases} Rightarrow$ $a = frac{1}{4}$ e $b = frac{15sqrt{3}}{4}$

Sendo assim temos que os possíveis centros serão: $left ( frac{1}{4}, frac{15sqrt{3}}{4} ight )$ ou $left ( frac{23}{4}, -frac{7sqrt{3}}{4} ight )$ e o raio r será sempre $frac{11}{2}$ .

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