Questão 5

ITA 2018

Matemática

(ITA - 2018 - 2ª FASE)

Uma reta r separa um plano $pi$ em dois semiplanos $pi_1$ e $pi_2$ Considere pontos A e B tais que $A in pi_1$ e $B in pi_2$ de modo que $d(A, r) = 3, d(B,r) = 6$ e $d(A,B) = 15$ . Uma circunferência contida em $pi$ passa pelos pontos A e B e encontra r nos pontos M e N. Determine a menor distância possível entre os pontos M e N.

Gabarito:

Resolução:

Com as informações dadas pelo enunciado conseguimos construir a seguinte figura, sendo AD = 3, BC = 6.e AB = 15.

Com isso podemos olhar para a semelhança dos triângulos BCP e ADP, para obter:

$frac{AD}{BC} = frac{AP}{PB} Rightarrow frac{3}{6} = frac{AP}{PB} Rightarrow PB = 2cdot AP$

Podemos escrever AB como:

$AB = AP+PB = AP + 2AP = 15 Rightarrow 3AP = 15 Rightarrow AP = 5$ e $PB = 10$

Agora utilizando potência de pontos em uma circunferência, no ponto P, temos que:

$MP cdot PN = AP cdot PB$

$MP cdot PN = 5cdot 10 Rightarrow MP = frac{50}{PN}$

Com isso, temos que a distância MN será:

$MN = MP + PN$

$MN = frac{50}{PN} + PN$

Escrevendo essa igualdade como uma função, temos que:

$f(x) = frac{x^2 + 50}{x}$ , onde x é a distância PN, e MN é f(x).

Olhando para a função resultante, podemos encontrar o seu mínimo, lembrando que como x é uma distância, obrigatoriamente x é um número real e positivo.

Vamos realizar o estudo da nossa função buscando os pontos críticos para encontrarmos o mínimo local.

$f(x) = 1-frac{50}{x^2}$

Portanto:

$f(x) = 0 Leftrightarrow x^2 = 50 Leftrightarrow x = pm 5sqrt{2}$

Vale ressaltar que x não pode ser $-5sqrt{2}$ , uma vez que obrigatoriamente x é um valor positivo. Fazendo a segunda derivada de f(x) e olhando para o único ponto encontrado possível de x, temos:

$f(x) = frac{100}{x^3}$ será positiva caso $x = 5sqrt{2}$ , indicando uma concavidade para cima e por tanto, um ponto de mínimo.

Logo, $x = 5sqrt{2}$ é um ponto mínimo para função $f(x)$ que representa a distância MN. Com todos esses dados, podemos calcular a distância MN, obtemos:

$MN = frac{(5sqrt{2})^2+50}{(5sqrt{2})} = 10sqrt{2}$

Questões relacionadas

Questão 19

(ITA - 2018 - 1 FASE) São dadas duas caixas, uma delas contém três bolas brancas e duas pretas e a outra contém duas bolas brancas e uma preta. Retira-se, ao acaso, uma bol...

Ver questão

Questão 6

(ITA - 2018 - 1 FASE) Sobre duas retas paralelas e são tomados 13 pontos, pontos em e pontos em , sendo > . Com o...

Ver questão

Questão 32594

(ITA - 2018 - 1 FASE) Sejam e números inteiros positivos. Se e são, nessa ordem, termos consecutivos de uma progressão geométri...

Ver questão

Questão 6

(ITA - 2018 - 2ª FASE) De uma caixa que contém 10 bolas brancas e 6 bolas pretas, são selecionadas ao acaso k bolas. a) Qual a probabilidade de que exatamente r bolas sejam b...

Ver questão