Questão 4

ITA 2018

Matemática

(ITA - 2018 - 2ª FASE)

Seja $z = cosfrac pi7+ isen frac pi7$ Pedem-se:

a) Use a propriedade $z^k = cosfrac {kpi}7+ isen frac {kpi}7, k in mathbb{N}$ para expressar $cosfrac pi7, cos frac {3pi} 7$ e $cosfrac {5pi}7$ em função de $z$

b) Determine inteiros a e b tais que $frac{a}{b} = cos frac {pi }{7} + cos frac {3pi }{7} + cos frac {5pi }{7}$

Gabarito:

Resolução:

Utilizando a fórmula dada pelo enunciado podemos calcular $z^{-k}$

$z^{-k} = cos left ( frac{-kpi }{7} ight ) + icdot sen left ( frac{-kpi }{7} ight )$

Agora utilizando algumas relações trigonométricas, temos que:

$cos left ( frac{-kpi }{7} ight ) = cos left ( frac{kpi }{7} ight )$ e $sen left ( frac{-kpi }{7} ight ) = -sen left ( frac{kpi }{7} ight )$

Logo $z^{-k} = cos left ( frac{kpi }{7} ight ) - icdot sen left ( frac{kpi }{7} ight )$

Agora fazemos a soma de $z^{k}$ e $z^{-k}$ , temos:

$z^{k} + z^{-k} = cos left ( frac{kpi }{7} ight ) + icdot sen left ( frac{kpi }{7} ight ) + cos left ( frac{kpi }{7} ight ) - icdot sen left ( frac{kpi }{7} ight )$

$z^{k} + z^{-k} = 2cdot cos left ( frac{kpi }{7} ight )$

$cos left ( frac{kpi }{7} ight ) = frac{1}{2}cdot (z^{k} + z^{-k})$

a) Para $k = 1$ , teremos:

$cos left ( frac{pi }{7} ight ) = frac{1}{2}cdot (z^{1} + z^{-1}) = frac{1}{2}cdot left (z + frac{1}{z} ight )$

Para $k = 3$ , teremos:

$cos left ( frac{3pi }{7} ight ) = frac{1}{2}cdot (z^{3} + z^{-3}) = frac{1}{2}cdot left (z^3 + frac{1}{z^3} ight )$

Para $k = 5$ , teremos:

$cos left ( frac{5pi }{7} ight ) = frac{1}{2}cdot (z^{5} + z^{-5}) = frac{1}{2}cdot left (z^5 + frac{1}{z^5} ight )$

b) $frac{a}{b} = cosleft (frac{pi }{7} ight ) + cosleft (frac{3pi }{7} ight ) + cosleft (frac{5pi }{7} ight )$ , substituindo com os valores encontrados na letra (a), temos:

$frac{a}{b} = frac{1}{2}cdot left ( z+frac{1}{z} ight ) + frac{1}{2}cdot left ( z^3+frac{1}{z^3} ight )+ frac{1}{2}cdot left ( z^5+frac{1}{z^5} ight ) =$