Questão 3

ITA 2018

Matemática

[Resolução ITA 2018 2ª fase 3ª questão]

1) O ponto A = (3;√3) pertence à circunferência de equação $(x-4)^2 + y^2 =4$ e será o ponto de tangência dessa circunferência com a circunferência solicitada. Deste modo, há duas possibilidades: ser tangente externa a ambas ou ser tangente externa à menor e interna à circunferência maior.

A reta que passa pelos pontos $A$ e $C_2 (4;0)$ tem coeficiente angular $moverrightarrow{AC_2} = frac{{sqrt3} - 0}{3-4} = sqrt {3}$ . A reta $t$ , tangente à circunferência $C_2$ no ponto $A$ , tem equação $y - sqrt{3} = frac {1}{sqrt{3}} (x-3) Leftrightarrow x - sqrt{3} y=0$ e, portanto, passa pela origem do sistema de eixos, centro da circunferência $C_1$ .

2) No triângulo retângulo $OAC$ ou $OAC$ , retângulo em $A$ , tem-se $OC^2 = OA^2 + AC^2 Leftrightarrow$

$Leftrightarrow (R + 1)^2 (sqrt{(3-0)^2 +(sqrt{3} - 0)^2})^2 + R^2 Leftrightarrow$

$Leftrightarrow R^2 + 2R + 1 = 12 + R^2 Leftrightarrow R = frac {11}{2}$ , em que $R$ é o raio da circunferência pedida.

3) Os pontos $C (a;b) (ou C)$ , $A (3;sqrt{3})$ e $B(4;0)$ estão alinhados e, portanto:

$egin{vmatrix} a & b & 1\ 3 & sqrt{3} &1 \ 4 & 0 &1 end{vmatrix} = 0 Leftrightarrow sqrt{3} a + b = 4sqrt{3}$

4) A distância do ponto $C$ à reta, tangente, é igual ao raio $R$ . Assim:

$frac {|a-sqrt{3}b|}{sqrt{1^2 + (-sqrt{3})^2}} = frac {11}{2} Leftrightarrow |a - sqrt{3}b| = 11 Leftrightarrow$

$Leftrightarrow a-sqrt{3}b =11$ ou $a-sqrt{3}b = -11$

5) As coordenadas dos possíveis centros são soluções dos sistemas:

$left{egin{matrix} sqrt{3} a+b = 4sqrt{3}\ a -sqrt{3}b = 11 end{matrix} ight. Leftrightarrow a = frac {23}{4}$ e $b = - frac {7sqrt{3}}{4}$

$left{egin{matrix} sqrt{3} a+b = 4sqrt{3}\ a -sqrt{3}b = 11 end{matrix} ight. Leftrightarrow a = frac {1}{4}$ e $b = frac{15sqrt{3}}{4}$

Resposta: os centros podem ser $(frac{1}{4};frac {15sqrt{3}}{4})$ ou $(frac{23}{4}; -frac{7sqrt{3}}{4})$ e o raio é sempre $frac{11}{2}$

Gabarito:

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