Questão 5

ITA 2018

Matemática

[Resolução ITA 2018 2ª fase 5ª questão]

1) Da semelhança entre os triângulos ADP e BCP, temos:

$frac{AD}{BC} = frac{AB}{BP} Leftrightarrow frac {3}{6} = frac {AP}{BP} Leftrightarrow BP = 2AP$

Já que AP + BP = 15, tem-se AP = 5 e BP = 10

2) Da potência do ponto P em relação à circunferência, e fazendo MP = x e NP = y, resulta:

$MP . NP = AP . BP Leftrightarrow x . y = 5 . 10 Leftrightarrow y = frac {50}{x}$

3) $MN = MP + NP = x + y = x + frac {50}{x}$

4) A função $S(x) = x + frac {50}{x} = (sqrt{x} - frac {5sqrt{2}}{sqrt{x}})^2 + 10sqrt{2}$

Como $x > 0$ , $sqrt{x} epsilon mathbb{R}$ e $(sqrt{x} - frac {5 sqrt{2}}{sqrt{x}})^2 + 10sqrt{2} epsilon mathbb{R}$ , então $(sqrt{x} - frac {5 sqrt{2}}{sqrt{x}})^2 geq 0$ e, portanto, $S(x)$ é mínima quando $(sqrt{x} - frac {5 sqrt{2}}{sqrt{x}})^2 = 0$ .

Neste caso, $S(x) = MN = 10sqrt{2}$

Resposta: MN mínimo vale $10sqrt{2}$

Gabarito:

Questões relacionadas

Questão 30039

(ITA – 2014 - Adaptada) Um sólido de altura h=1cm tem sua base no plano xy definida por: x2+y2-2x-4y+4<=0 Um plano, contendo a reta y=x e paralelo ao eixo do cilindro, o secciona em...

Ver questão

Questão 19

(ITA - 2018 - 1 FASE) São dadas duas caixas, uma delas contém três bolas brancas e duas pretas e a outra contém duas bolas brancas e uma preta. Retira-se, ao acaso, uma bol...

Ver questão

Questão 30633

(ITA – 2015 - adaptada) Três pessoas, aqui designadas por A, B e C, realizam o seguinte experimento: A recebe um cartão em branco e nele assinala o sinal + ou o sinal –, passa...

Ver questão

Questão 6

(ITA - 2018 - 1 FASE) Sobre duas retas paralelas e são tomados 13 pontos, pontos em e pontos em , sendo > . Com o...

Ver questão