Questão 6

ITA 2018

Matemática

[Resolução ITA 2018 2ª fase 6ª questão]

a) Número de elementos do espaço amostral:

$C_{16,k} =egin{pmatrix} 16\ k end{pmatrix}$

Número de elementos do evento:

$underbrace{C_{10,r}}$ $.$ $underbrace{C_{6,k-r}}$ $= egin{pmatrix} 10\ r end{pmatrix} . egin{pmatrix} 6\ k-r end{pmatrix}$

Escolhas de r brancas Escolhas de $k-r$ pretas

Probabilidades:

$p = frac{egin{pmatrix} 10\ r end{pmatrix}.{egin{pmatrix} 6\ k-r end{pmatrix}}}{egin{pmatrix} 16\ k end{pmatrix}}$

Note-se que a expressão na somatória equivale ao numerador da probabilidade ( $p$ ) obtida no item a) com $k=6$ . Fazendo $k=6$ em $p$ :

$p = frac{egin{pmatrix} 10\ r end{pmatrix}.{egin{pmatrix} 6\ 6-r end{pmatrix}}}{egin{pmatrix} 16\ 6 end{pmatrix}}$

Podemos considerar $p$ , com $k=6$ , como a probabilidade de $r$ bolas brancas serem retiradas em um total de 6 bolas selecionadas.

A somatória $sum_{r=0}^{6}$ $egin{pmatrix} 10\ r end{pmatrix}egin{pmatrix} 6\ 6-r end{pmatrix}$ representa todos os casos possíveis de bolas brancas retiradas, pois $0 leq r leq 6$ e $k=6$ . Logo, esta somatória deve equivaler ao número de elementos do espaço amostral: $egin{pmatrix} 16\ 6 end{pmatrix}$ , para que a probabilidade seja $1$ .

$sum_{r=0}^{6} egin{pmatrix} 10\ 6 end{pmatrix}egin{pmatrix} 6\ 6-r end{pmatrix} = egin{pmatrix} 16\ 6 end{pmatrix} Leftrightarrow$

$Leftrightarrow sum_{r=0}^{6} egin{pmatrix} 10\ 6 end{pmatrix}egin{pmatrix} 6\ 6-r end{pmatrix} = 8008$

Resposta: a) $frac{egin{pmatrix} 10\ r end{pmatrix}.{egin{pmatrix} 6\ k-r end{pmatrix}}}{egin{pmatrix} 16\ k end{pmatrix}}$ b) 8008

Gabarito:

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