Questão 4

ITA 2018

Matemática

[Resolução ITA 2018 2ª fase 4ª questão]

1) Observamos que $cos frac{kpi}{7} = cos frac{(14-k)pi}{7}$

$sen frac{kpi}{7} = -sen frac{(14-k)pi}{7}$ , pois

$frac {kpi}{7} + frac {(14-k)pi}{7} =2pi$

Assim:

$z^k = cos frac{kpi}{7} + isen frac{kpi}{7} (I)$ e

$z^{14-k} = cos frac{(14-k)pi}{7} + isen frac{(14-k)pi}{7} =$

$= cos frac {kpi}{7} = - isen frac{kpi}{7} (II)$

De (I) e (II), resulta:

$z^k + z^{14-k} = 2cos frac {kpi}{7} Leftrightarrow cos frac{kpi}{7} =frac{z^k+z^{14-k}} {2}$

Desta forma:

$cos frac{pi}{7} = frac {z+z^{13}}{2}; cos frac {3pi}{7} = frac {z^3 + z^{11}}{2}$ e

$cos frac{5pi}{7} = cos frac{z^5+z^9}{2}$

b) Como $z^{14} = cos frac{14pi}{7} + isen frac{14pi}{7} =$

$= cos 2pi + isen 2pi = 1$ e $z^7 = cos frac {7pi}{7} + isen frac {7pi}{7} =$

$= cos pi + isen pi = -1$ , temos:

$frac {a}{b} = cos frac{pi}{7} + cos frac{3pi}{7} + cos frac{5pi}{7} =$

$= frac {z + z^{13}}{2} + frac {z^3+z^{11}}{2} + frac {z^5 + z^9}{2} =$

$= frac {1}{2} (z +z^3 + z^5 + z^9 + z^{11} + z^{13})$

$= frac {1}{2} left [ frac {z .[(z^2)^7 - 1]}{z^2-1}-z^7 ight ] =$

$= frac {1}{2} left [ frac{z.(z^{14}-1)}{z^2-1} -z^7 ight ]=$

$=frac {a}{b} left [ -frac {z.(z^{14}-1)}{z^2-1}-(-1) ight ] = frac{1}{2} [0+1]=frac{1}{2}$

Dessa forma, podemos ter $a=1$ e $b=2$

Resposta: a) $cos frac {pi}{7} = frac {z+z^{13}}{2} ; cos frac {3pi}{7} =frac {z^3+z^{11}}{2}$ e $cos frac {5pi}{7} = frac{z^5 + z^9}{2}$

b) Possíveis valores inteiros de a e b são a=1 e b=2

Gabarito:

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