Questão 10

ITA 2018

Matemática

[Resolução ITA 2018 2ª fase 10ª questão]

Seja $r$ a reta que passa por $P(0;3) D(x_D; y_D), N(n;0)(n> 0)$ , e divide o triângulo $ABC$ em duas regiões de mesma área.

$(I) tg alpha = frac {y_D}{x_D}=frac{2}{3} Leftrightarrow y_D= frac {3}{n} Leftrightarrow$

$(II)$ A área do triângulo $ADN$ é tal que

$frac {n.y_D}{2} = frac{1}{2}. (frac {3.2}{2}) Leftrightarrow y_D= frac {3}{n}$

$Leftrightarrow frac {2}{3} . x_D = frac {3}{n} Leftrightarrow x_D = frac {9}{2n}$

$(III)$ Os pontos $P$ , $D$ e $N$ são alinhados e, portanto:

$egin{vmatrix} 0 & 3&1 \ x_D & y_D &1 \ n & 0 & 1 end{vmatrix} = 0 Leftrightarrow egin{vmatrix} 0 &3 &1 \ frac{9}{2n} & frac{3}{n} & 1\ n & 0 & 1 end{vmatrix} = 0 Leftrightarrow$

$Leftrightarrow 2n^2 - 2n -9 =0 Leftrightarrow n = frac {1+sqrt{19}}{2}$ , pois $n > 0$

Resposta: $N (frac {1 +sqrt{19}}{2};0)$

Gabarito:

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