Questão 41
ITA 2021
(ITA - 2021 - 1ª FASE)
Sejam A e B matrizes quadradas de ordem ímpar. Suponha que A é simétrica e que B é antissimétrica. Considere as seguintes afirmações:
I.
II. A comuta com qualquer matriz simétrica.
III. B comuta com qualquer matriz antissimétrica.
IV. det (AB) = 0.
É(são) VERDADEIRA(S):
nenhuma
apenas I
apenas III.
apenas IV.
apenas II e IV.
Gabarito:
apenas IV.
Resolução:
l. Falsa, o produto na verdade é igual a , uma vez que
Tomemos por exemplo uma matriz simétrica e uma matriz antisimetrica
temos que
e
ll. Falso. Vamos utilizar um exemplo para provar.
Tomemos por exemplos as matrizes simétricas e
, , então
e
, logo
lll.Falso. Vamos provar utilizando um contra exemplo, considere as duas matrizes antisimetricas:
e
, então,
e
, logo
lV. Se considerarmos A e B de ordens iguais, para que a multiplicação seja possível, a afirmação está correta.
Veja que B é antissimétrica de ordem ímpar. Assim, Bt = -B.
Dessa forma, sabendo que det(B) = det(Bt).
Teremos: det(B) = (-1)(2k+1)det(B), com k inteiro.
Logo, det(B) = -det(B). Inferi-se que det(B) = 0.
Dessa forma, det(AB) = 0.