Questão 42

ITA 2021

Matemática

(ITA - 2021 - 1ª FASE) Seja $S subset mathbb{R}$ o conjunto solução da inequação $(x^{2}+x+1)^{2x^{2}-x-1}leq 1.$ Podemos afirmar que:

S = [-1,1].

S = [-1, $- frac{1}{2}$ ].

S = [0,1].

S = [-1, $- frac{1}{2}$ ] $cup$ [0,1]

S é o conjunto vazio

Gabarito:

S = [-1, $- frac{1}{2}$ ] $cup$ [0,1]

Resolução:

$(x^{2}+x+1)^{2x^{2}-x-1}leq 1$

Condição de existência:

$x^{2}+x+1>0 ightarrow x^{2}+2.frac{1}{2}.x+(frac{1}{2})^{2}+frac{3}{4}>0$

$herefore xin mathbb{R}$

Caso 1:

$0<x^{2}+x+1leq 1$ $ightarrow$ $x^{2}+xleq 0$ $ightarrow$ $-1leq xleq 0$

Para $0leq xleq 1 ightarrow 2x^{2}-x-1$ são

$Delta = 1-4.2.(-1)=9 ightarrow x=frac{1pm 3}{4}$

x₁ = 1, x₂ = $-frac{1}{2}$

$S_{1}=[-1,frac{-1}{2}]$

Caso 2:

Analogamente ao caso 1, alteremos

$-frac{1}{2}leq xleq1$

Logo, S₂ = [0,1]

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