Questão 5665

ITA 2022

Física

(ITA - 2009 - Adaptada) Lua e Sol são os principais responsáveis pelas forças de maré. Estas são produzidas devido às diferenças na aceleração gravitacional sofrida por massas distribuídas a Terra em razão das respectivas diferenças de suas distâncias em relação a esses astros. A figura mostra duas massas iguais, m₁ = m₂ = m, dispostas sobre a superfície da Terra em posições diametralmente opostas e alinhadas em relação à Lua, bem como uma massa m₀ = m situada no centro da Terra. Considere G a constante de gravitação universal, M a massa da Lua, r o raio da Terra e R a distância entre os centros da Terra e da Lua. Considere, também, f_0z, f_1z e f_2z as forças produzidas pela Lua respectivamente sobre as massas m₀, m₁ e m₂. Determine as diferenças (f_1z−f_0z) e (f_2z−f_0z) sabendo que deverá usar a aproximação $frac{1}{(1+x)^a}= 1-ax$ , quando $x<<1$ .

$f_{1Z}-f_{0z}=GMmegin{bmatrix} frac{1}{R^{2}}egin{pmatrix} 1 - frac{2r}{R} end{pmatrix} - frac{1}{R^{2}} end{bmatrix}$ e

$f_{1Z}-f_{0z}=GMmegin{bmatrix} frac{1}{R^{2}}egin{pmatrix} 1 - frac{3r}{R} end{pmatrix} - frac{1}{R^{2}} end{bmatrix}$ e

$f_{1Z}-f_{0z}=GMmfrac{1}{R^{2}}egin{pmatrix} 1 - frac{4r}{R} end{pmatrix}$ e

$f_{1Z}-f_{0z}=GMmegin{bmatrix} frac{1}{R^{2}}egin{pmatrix} 1 - frac{5r}{R} end{pmatrix} - frac{2}{R^{2}} end{bmatrix}$ e

$f_{1Z}-f_{0z}=GMmegin{bmatrix} frac{1}{R^{2}}egin{pmatrix} 1 - frac{3r}{R} end{pmatrix} - frac{2}{R^{2}} end{bmatrix}$ e

Gabarito:

$f_{1Z}-f_{0z}=GMmegin{bmatrix} frac{1}{R^{2}}egin{pmatrix} 1 - frac{2r}{R} end{pmatrix} - frac{1}{R^{2}} end{bmatrix}$ e

Resolução:

$f_{0z} = frac{GMm}{R^{2}} (I)$

$f_{1z} = frac{GMm}{(R+r)^{2}} (II)$

$f_{2z} = frac{GMm}{(R-r)^{2}} (III)$

Perceba que:

$frac{1}{(R+r)^{2}} = frac{1}{[R(1+ frac{r}{R})]^{2}}$

$frac{1}{[R(1+ frac{r}{R})]^{2}} = frac{1 - frac{2r}{R}}{R^{2}}$

$frac{1}{(R+r)^{2}} = frac{1}{R^{2}} cdot (1 - frac{2r}{R}) (IV)$

Por outro lado:

$frac{1}{(R-r)^{2}} = frac{1}{[R(1-frac{r}{R})]} = frac{1}{R^{2}} (1 + frac{2r}{R}) (V)$

Calculamos que:

$f_{1z} - f_{0z} = frac{GMm}{R^{2}}[1 - frac{2r}{R} - 1]$

$f_{1z} - f_{0z} = - frac{2GMmr}{R^{3}}$

De (I), (III) e (V):

$f_{2z} - f_{0z} = frac{GMm}{(R-r)^{2}} - frac{GMm}{R^{2}}$

$f_{2z} - f_{0z} = frac{GMm}{R^{2}}[1 + frac{2r}{R} -1]$

$f_{2z} - f_{0z} = frac{2GMmr}{R^{3}}$

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