Questão 39025

ITA 2022

Matemática

(ITA - 2006 - Adaptada)

Determine para quais valores de $x epsilon (-frac{pi}{2},frac{pi}{2})$ vale a desigualdade $mathbf{log_{cosx}(4sen^2x-1)-log_{cosx}(4-sec^2x)>2}$ .

$(-frac{pi}{4},-frac{pi}{6}) cup (frac{pi}{6},frac{pi}{4}).$

OBS: Alternativa única, questão dissertativa.

N.D.A.

Gabarito:

$(-frac{pi}{4},-frac{pi}{6}) cup (frac{pi}{6},frac{pi}{4}).$

OBS: Alternativa única, questão dissertativa.

Resolução:

Resolução em construção... Se algum monitor quiser terminar, sinta-se a vontade.

Determine para quais valores de $x epsilon (-frac{pi}{2},frac{pi}{2})$ vale a desigualdade $mathbf{log_{cosx}(4sen^2x-1)-log_{cosx}(4-sec^2x)>2}$ .

1) Condição de existência:

1.1) $4 cdot sin^2(x)-1 > 0$

$frac{pi }{6}+pi k<x<frac{5pi }{6}+pi k$

1.2) $4 - sec^2(x) > 0$

$-frac{pi }{3}+pi k<x<frac{pi }{3}+pi k$

1.3) $cos(x) > 0$

$-frac{pi }{2}+2pi k<x<frac{pi }{2}+2pi k$

1.4) $cos(x) eq 1$

$x eq 2pi k$

1.5) $x epsilon (-frac{pi}{2},frac{pi}{2})$

1.6) Com isso, a condição de existência é

$-frac{pi }{3}<x<-frac{pi }{6} cup frac{pi }{6}<x<frac{pi }{3}$

2) É fácil perceber que nesse intervalo da condição de existência, $frac{1}{2}<cos(x)<frac{sqrt{3}}{2}$ .

3) Aplicando a propriedade $log _cleft(a ight)+log _cleft(b ight)=log _cleft(ab ight)$ e $log _aleft(x^b ight)=bcdot log _aleft(x ight)$ temos

$log_{cos(x)}[(4sin^2x-1)(4-sec^2x)]>log_{cos(x)}cos^{2}(x)$

4) Sabendo que a base é um número entre 0 e 1 (0 > a > 1), ao resolver a inequação logarítmica, devemos inverter a desigualdade e estabelecer uma inequação entre os logaritmandos:

$(4sin^2x-1)(4-sec^2x)<cos^{2}(x)$

5) Desenvolvendo:

$16sin ^2left(x ight)-4sin ^2left(x ight)sec ^2left(x ight)-4+sec ^2left(x ight)-cos^{2}(x)<0$

6) Como $sec left(x ight)=frac{1}{cos left(x ight)}$ :

$16sin ^2left(x ight)-frac{4sin ^2left(x ight)}{cos ^2left(x ight)}-4+frac{1}{cos^2left(x ight)}-cos^{2}(x)<0$

$16sin ^2left(x ight)-frac{4sin ^2left(x ight)-1}{cos ^2left(x ight)}-4-cos^{2}(x)<0$

7) Como $cos ^2left(x ight)=1-sin ^2left(x ight)$ :

$-4-left(1-sin ^2left(x ight) ight)-frac{-1+4sin ^2left(x ight)}{1-sin ^2left(x ight)}+16sin ^2left(x ight)<0$

8) Fazendo a substituição sen²(x) = y

$-4-left(1-y ight)-frac{-1+4y}{1-y}+16y<0$

9) Desenvolvendo:

$frac{-17y^2+18y-4}{1-y}<0$

8) Logo, $y<frac{9-sqrt{13}}{17}quad mathrm{ou}quad frac{9+sqrt{13}}{17}<y<1$

9) Como $sqrt{13}simeq frac{13+16}{2sqrt{16}} = 3.625$

$frac{9-3.625}{17}simeq 0.31$

$frac{9+3.625}{17}simeq 0.74$

$y<0.31quad mathrm{ou}quad 0.74<y<1$

10) Sendo sen²(x) = y

$sin^{2}(x)<0.31quad mathrm{ou}quad 0.74<sin^{2}(x)<1$

11) Com isso,

$x in (-frac{pi}{4},-frac{pi}{6}) cup (frac{pi}{6},frac{pi}{4}).$

Questão 39025

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