Questão 46

ITA 2022

Matemática

(ITA - 2022 - 1ª fase) Seja $n geq 2$ e A, B $epsilon$ M_n ( $mathbb{R}$ ). Considere as seguintes afirmações:

I. Se $AB eq BA$ então ou A ou B não é inversível.

II. Se AB = 0 então BA = 0.

III. Se $A^{T}=-A^{2}$ e A é inversível então det(A)= -1.

É (são) verdadeira(s):

A

apenas I.

B

apenas II.

C

apenas III.

D

apenas I e III.

E

Nenhuma

Gabarito:

Nenhuma

Resolução:

l. Seja as matrizes

$A=egin{pmatrix} -4 &4 \ 0& 8 end{pmatrix}$ e $B=egin{pmatrix} -1 &0 \ 0& 1 end{pmatrix}$ , assim, temos:

$AB=egin{pmatrix} 4 &4 \ 0& 8 end{pmatrix}$ $BA=egin{pmatrix} 4 &-4 \ 0& 8 end{pmatrix}$

porém, a matriz inversa de A existe:

$A^{-1}=egin{pmatrix} -1 &0 \ 0& 1 end{pmatrix}$

Dessa forma a afirmativa (I) é falsa.

II. Seja

$A=egin{pmatrix} 1 &0 \ 1& 0 end{pmatrix}$ e $B=egin{pmatrix} 0 &0 \ 0& 1 end{pmatrix}$ , temos:

$AB=egin{pmatrix} 0 &0 \ 0& 0 end{pmatrix}$ e $BA=egin{pmatrix} 0 &0 \ 1& 0 end{pmatrix}$

Como $AB=0$ e $AB eq0$ (II) é falsa.

III. $det(A^t)=det(-A^2)$

$det(A)=det(-Acdot;A)$

$det(A)=det(-A)cdot;det(A)$

$det(A)=(-1)^ncdot;det(A^2)$

$0=(-1)^ncdot;det(A^2)-det(A)$

$0=det(A)[(-1)^ncdot;det(A)-1]$

$0=(-1)^ncdot;det(A)-1$

$det(A)=frac{1}{(-1)^n}$

Logo, se a ordem n da matriz for par, temos det(A)=1, portando a (III) é falsa.

Alternativa E

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