Questão 44

Matemática

(ITA - 2022 - 1ª fase)

Sejam z₁, z₂ $in$ $mathbb{C}$ com z₂ $\neq$ 0. Considere as afirmações.

I. Se z₁ + z₂ $in$ $mathbb{R}$ e z₁ - z₂ $in$ $mathbb{R}$ então z₁ $in$ $mathbb{R}$ e z₂ $in$ $mathbb{R}$

II. Se z₁ . z₂ $in$ $mathbb{R}$ e z₁/z₂ $in$ $mathbb{R}$ então z₁ $in$ $mathbb{R}$ e z₂ $in$ $mathbb{R}$

III. Se z1 + z2 $in$ $mathbb{R}$ e z1 . z2 $in$ $mathbb{R}$ então z1 $in$ $mathbb{R}$ z2 $in$ $mathbb{R}$ .

É (são) sempre verdadeira(s)

apenas I

I e II

apenas I e III

apenas II

Gabarito:

apenas I

Resolução:

Tome complexos genéricos: $z_1=a+bi$ e $z_2=c+di$ , sendo $a, b, c, d ;in mathbb{R}$ .

Se $z_1+z_2 in mathbb{R}$ : $a+bi+c+di in mathbb{R}$ . $b+d=0$ .

Se $z_1-z_2 in mathbb{R}$ : $a+bi-c-di in mathbb{R}$ . $b-d=0$ .

$b=d=0$ . → $z_1, z_2 in mathbb{R}$

(verdadeiro)

II.

Se $z_1 cdot z_2 in mathbb{R}$ : $(a+bi)(c+di) =ac+adi+bci-bd in mathbb{R}$ . $ad+bc=0$ .

Se $frac{z_1}{z_2} in mathbb{R}$ : $frac{a+bi}{c+di}=frac{ac+bd-adi+bci}{c^2+d^2} in mathbb{R}$ . $bc-ad = 0$ .

Veja que $z_1$ pode ser 0. Logo, há a possibilidade de $a=b=0$ , que satisfaz a equação, com $z_2$ não necessariamente pertencendo aos reais.

(falso)

III.

Se $z_1+z_2 in mathbb{R}$ : $a+bi+c+di in mathbb{R}$ . $b+d=0$ .

Se $z_1 cdot z_2 in mathbb{R}$ : $(a+bi)(c+di) =ac+adi+bci-bd in mathbb{R}$ . $ad+bc=0$ .

$b=-d$

$d(a-c)=0$

Veja que há possibilidade de $a-c=0$ , o que atende a equação, com $z_1$ e $z_2$ não necessariamente pertencendo aos reais.

(falso)