Questão 49

ITA 2022

Matemática

(ITA - 2022 - 1ª fase) Seja P, uma pirâmide regular cujo vértice V é um dos vértices de um cubo de lado $l$ e cuja base é o hexágono formado pelos pontos médios das seis arestas do cubo que não contém V nem o vértice oposto a V. O raio da esfera que circunscreve P é

A

$l frac{sqrt{2}}{12}$

B

$l frac{sqrt{3}}{12}$

C

$5l frac{sqrt{2}}{12}$

D

$5l frac{sqrt{3}}{12}$

E

$l frac{sqrt{3}}{6}$

Gabarito:

$5l frac{sqrt{3}}{12}$

Resolução:

Tendo a pirâmide regular dentro do cubo, vamos virá-la em um ângulo que facilite a visualização:

Vamos chamar o vértice superior de O e os vértices da base de A, B, C, D, E e F.

Note que todas as arestas laterais medem l, vamos calcular o valor de d, por Pitágoras:

$(AO)^2=l^2+frac{l^2}{4}=frac{5l^2}{4}$

$AO=frac{sqrt{5}l}{2}=d$

Calculando também as arestas da base, de valor r:

$r^2=frac{l^2}{4}+frac{l^2}{4}$

$r=frac{sqrt{2}l}{2}$

Agora podemos trabalhar com a esfera de raio R circunscrita na pirâmide

Temos que o ponto P é o centro do hexágono que é a base da nossa pirâmide.

Logo, AP e PD medem r, que é o lado do hexágono. AO e DO são arestas laterais e medem d. Q é o centro da esfera. Logo, podemos encontrar a altura da pirâmide, por Pitágora

$(AO)^2=(OP)^2+(AP)^2$

$d^2=h^2+r^2$

$h^2=d^2-r^2=frac{5l^2}{4}-frac{l^2}{2}=frac{3l^2}{4}$

$h=frac{sqrt{3}l}{2}$

Agora, Pitágoras em AQP:

$(AQ)^2=(QP)^2+(AP)^2$

$R^2=h^2-2hR+R^2+r^2$

$h^2-2hR+r^2=0$

$frac{3l^2}{4}-2Rcdot frac{sqrt{3}l}{2}+frac{l^2}{2}$

$sqrt{3}lcdot R=frac{5l^2}{4}$

$5l frac{sqrt{3}}{12}$

Alternativa correta é Letra D.

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