Questão 53
ITA 2022
(ITA - 2022 - 1ª fase) Sejam ,
e
ângulos internos de um triângulo. Se
, podemos afirmar que:
O triângulo não é isósceles.
O triângulo não é retângulo.
O triângulo não é acutângulo.
O triângulo não é obtusângulo.
Não se pode garantir nenhum dos itens anteriores.
Gabarito:
O triângulo não é acutângulo.
Resolução:
Primeiro, vamos notar que a soma dos ângulos internos de um triângulo qualquer é . Logo:
Assim, partindo da relação dada no enunciado, segue que:
Aplicando prostaférese na soma de cossenos, temos:
Mas:
Portanto:
A partir desse resultado, temos dois casos possíveis:
(I) caso em que há a igualdade;
(II) caso em que há a desigualdade:
Nesse caso, ou ou
é
rad, implicando que o retângulo pode ser retângulo. Em sendo retângulo, o triângulo não pode ser acutângulo nem obtusângulo (pois ele é retângulo!).
Nesse caso, para o cosseno dar negativo, ou ou
tem que ser maior que
rad, implicando que o retângulo pode ser obtusângulo. Em sendo obtusângulo, o triângulo não pode ser acutângulo nem retângulo (pois ele é obtusângulo!).
Além disso, como nada foi dito a respeito dos lados deste triângulo, ele pode também ser isósceles em qualquer um dos casos acima (isósceles retângulo ou isósceles obtusângulo).
Dessa forma, concluímos que o triângulo só não pode ser acutângulo, sendo a alternativa correta a letra C.