Questão 54

ITA 2022

Matemática

(ITA - 2022 - 1ª Fase)

O número de soluções reais e distintas da equação:

cos²(2x) = 3 - cos⁶ (x) - 5cos²(x)

no intervalo [0,2 $pi$ [ é

Gabarito:

Resolução:

$cos^2(2x)=3-cos^6(x)-5cos^2(x)$

$cos(2x)=2cos^2(x)-1$

$cos^2(2x)=4cos^4(x)-4cos^2(x)+1=3-cos^6(x)-5cos^2(x)$

$cos^6(x)+4cos^4(x)+cos^2(x)-2=0$

Fazendo $cos^2(x)=y$ : $y^3+4y^2+y-2=0$

y=-1 é raíz!

Aplicando Briot-Ruffini:

-1	1	4	1	-2
	1	3	-2	0

$y^2+3y-2=0$

$y=frac{-3pmsqrt{17}}{2}$

Como $y=cos^2(x)>0$ , segue que:

$y=frac{sqrt{17}-3}{2}$ é solução única, logo:

$cos(x)=pmsqrt{frac{sqrt{17}-3}{2}}$ o que corresponde a 4 ângulos no intervalo $[0,2pi[$

Alternativa C

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