Questão 48

ITA 2022

Matemática

(ITA - 2022 - 1ª fase) Seja $bin mathbb{R}$ tal que a equação

$x^{2}-6bx-(1-b^{2})(y^{2}-2by)+b^{4}+8b^{2}-1=0$

determina uma hipérbole. Com respeito ao centro C desta hipérbole podemos afirmar:

$Cin left { (x,y) in mathbb{R}^{2}/x^{2}/9+y^{2}/12<1 ight }$ .

$Cin left { (x,y) in mathbb{R}^{2}/x^{2}/4+y^{2}/2>1 ight }$ .

$Cin left { (x,y) in mathbb{R}^{2}/x^{2}/9-y^{2}/2<1 ight }$ .

$Cin left { (x,y) in mathbb{R}^{2}/3x^{2}-2y^{2}>1 ight }$ .

Nenhuma das alternativas anteriores.

Gabarito:

$Cin left { (x,y) in mathbb{R}^{2}/x^{2}/9-y^{2}/2<1 ight }$ .

Resolução:

Fatorando a expressão, temos:

$x^2-6bx-(1-b^2)(y^2-2by)+b^4+8b^2-1=0$

Completando quadrados:

$ullet ;x^2-6bx=x^2-6bx+9b^2-9b^2=(x-3b)^2-9b^2$

$ullet ;y^2-2by=y^2-2by+b^2-b^2=(y-b)^2-b^2$

Logo:

$(x-3b)^2-9b^2-(1-b^2)[(y-b)^2-b^2]+b^4+8b^2-1=0$

$(x-3b)^2-(1-b^2)(y-b)^2=1$

$(x-3b)^2-frac{(y-b)^2}{frac{1}{(1-b^2)}}=1$

Para ser hipérbole, devemos ter que:

$1-b^2 > 0$

$b^2 <1$

Em que o centro é dado por $(3b,b)$ .

A única alternativa coerente é a C, pois:

$frac{(3b)^2}{9}-frac{b^2}{2}=frac{b^2}{2}<1$

Alternativa correta é Letra C.

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