Questão 55

ITA 2022

Matemática

(ITA - 2022 - 1ª Fase)

Seja T um triângulo de vérticies A, B e C com m ( $overline{AB}$ ) = $2sqrt{5}$ e m ( $overline{BC}$ ) = 6 =. Sabendo que o ângulo $overset{wedge }{ABC}$ é agudo e T inscritível em uma circunferência de raio R= 5. podemos afirmar que:

m( $overline{AC}$ ) = $frac{sqrt5}{5}$

m( $overline{AC}$ ) = $frac{2sqrt5}{5}$

m( $overline{AC}$ ) = $frac{4sqrt5}{5}$

m( $overline{AC}$ ) = $frac{8sqrt5}{5}$

m( $overline{AC}$ ) = $frac{14sqrt5}{5}$

Gabarito:

m( $overline{AC}$ ) = $frac{4sqrt5}{5}$

Resolução:

Pela lei do senos temos que:

$frac{6}{sen hat{A}}=frac{2sqrt{5}}{sen hat{C}}=frac{AC}{senhat{B}}=2cdot R=10$

$\sen hat{A}=frac{6}{10}=frac{3}{5}\\ sen^2 heta+cos^2 heta=1 ightarrow cos heta=sqrt{1-sen^2 heta}\\ cos hat{A}=sqrt{1-(frac{3}{5})^2}=sqrt{frac{16}{25}}=frac{4}{5}$

$\sen hat{C}=frac{2sqrt5}{10}=frac{sqrt5}{5}\\cos hat{C}=sqrt{1-(frac{sqrt5}{5})^2}=-sqrt{frac{20}{25}}=frac{2sqrt5}{5}$

$\\sen hat{B}=sen(180^{circ}-(hat{A}+hat{C}))=senhat{A}cdot coshat{C}+senhat{C}cdot coshat{A}\\ frac{3}{5}cdot frac{2sqrt5}{5}-frac{sqrt5}{5}cdot frac{4}{5}=frac{2sqrt5}{25}$

Como $AC=10cdot senhat{B}$

$AC=frac{4sqrt5}{5}$

Alternativa correta é a Letra C.

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