Questão 43

ITA 2022

Matemática

(ITA - 2022 - 1ª fase) Seja $m epsilon mathbb{R}$ . Considere os sistemas lineares

$S_{1}: left{egin{matrix} 4x-y=2\ -16x+m^{2}y+z=-10 \ 12x-3y+z=8 end{matrix} ight.$ e $S_{2}: left{egin{matrix} 10x+z=m^{2}+m-1\ -5y+5z=14 \ 5my+(14-5m)z=14m^{2}-56 end{matrix} ight.$

Assinale a alternativa correta:

A

Não existe $m epsilon mathbb{R}$ tal que $S_{1}$ é equivalente a $S_{2}$ .

B

Existe exatamente um $m> 0$ tal que $S_{1}$ é equivalente a $S_{2}$ .

C

Existe exatamente um $m< 0$ tal que $S_{1}$ é equivalente a $S_{2}$ .

D

Existem exatamente dois valores distintos de m tais que $S_{1}$ é equivalente a $S_{2}$ .

E

Existem infinitos valores distintos para m tais que $S_{1}$ é equivalente a $S_{2}$ .

Gabarito:

Existe exatamente um $m< 0$ tal que $S_{1}$ é equivalente a $S_{2}$ .

Resolução:

1) Note que nas linhas 1 e 3 do sistema $S_1$ conseguimos obter o valor de z:

$3cdot (4x-y=2) ightarrow 12x-3y=6$

$12-3y+z=8$

$12x-3y=6$

$z=2$

Se os sistemas são equivalentes, z também é igual a 2 no sistema $S_2$

2) Com o valor de z podemos descobrir o valor de y na linha 2 do sistema $S_2$ :

$-5y+5z=14$

$-5y+10=14$

$y=-frac{4}{5}=-0,8$

3) Com o valor de y podemos descobrir o valor de x na linha 1 do sistema $S_1$ :

$4x-y=2$

$4x+0,8=2$

$4x=1,2$

$X=0,3$

4) Vamos analisar os valores de m possíveis para os sistemas serem equivalentes:

Linha 2, $S_1$ :

$-16x+m^2y+z=-10$

$-4,8-0,8m^2+2=-10$

$0,8m^2=7,2$

$m^2=9$

Valores possíveis para m: -3 e 3.

Linha 1, $S_1:$

$10x+z=m^2+m-1$

$3+2=m^2+m-1$

$m^2+m-6=0$

$(m+3)(m-2)=0$

Valores possíveis para m: -3 e 2.

Linha 1, $S_2:$

$10left(x ight)+2=m^2+m-1$

$10left(0,:3 ight)+2=m^2+m-1$

Valores possíveis para m: -3 e 2.

Linha 3, $S_2$ :

$5my+(14-5m)z=14m^2-56$

$-4m+28-10m=14m^2-56$

$14m^2+14m-84=0$

$m^2+m-6=0$

$(m+3)(m-2)=0$

Valores possíveis para m: -3 e 2.

5) Logo, o único valor que atende a todas as equações é o valor $m=-3$ .

Alternativa correta é a Letra C.

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