Questão 1

ITA 2022

Matemática

(ITA - 2022 - 2ª fase)

Seja $x epsilon mathbb{R}$ . Considere um retângulo R de lados medindo $a = 9x^2 - 5x^4$ e $b = 8x - 8x^3$ . Sabendo que o perímetro de R é 8 determine $a$ e $b$ .

Gabarito:

Resolução:

Como a e b são lados de um retângulo de perímetro 8, temos:

$2a+2b=8$

$a+b=4$

Substituindo a e b por seus respectivos polinômios, temos:

$9x^2 -5x^4 + 8x -8x^3 =4$

$5x^4 +8x^3 -9x^2 -8x + 4 = 0$

Como a soma de todos os coeficientes deste polinômio é 0, 1 é raiz. Logo, o polinômio é divisível por $(x-1)$ . Realizando a divisão

$frac{5x^4 +8x^3 -9x^2 -8x + 4}{x-1}=5x^3 +13x^2 + 4x - 4$

No polinômio $5x^3 +13x^2 + 4x - 4$ , a soma dos coeficientes dos fatores ímpar é igual à soma de coeficientes dos fatores par. Logo, -1 é raiz e o polinômio é divisível por $(x+1)$ .

$frac{5x^3 +13x^2 + 4x - 4}{x+1}=5x^2 + 8x -4$

Podemos encontrar as raízes restantes do polinômio através da equação de segundo grau.

$5x^2 + 8x - 4 = 0$

$Delta = 144$

$x_1 = frac{2}{5}$

$x_2 = -2$

Como a e b são lados de um retângulo de perímetro 8, temos:

0 < a < 4
0 < b < 4

Ao testarmos as raízes do polinômio que define este retângulo, apenas $x= frac {2}{5}$ está dentro do intervalo.

$a = 9 cdot (frac{2}{5})^2 - 5 cdot (frac{2}{5}^4) = frac{164}{125}$

$b = 8 cdot frac{2}{5} - 8 cdot (frac{2}{5})^3=frac{336}{125}$

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