Questão 2

ITA 2022

Matemática

(ITA - 2022 - 2ª fase)

Seja $z epsilon mathbb{C}$ e denote por $(z)$ a parte imaginária de $z$ . Determine todos os possíveis $z epsilon mathbb{C}$ com $(z) eq 0$ tais que temos simultaneamente $(z^3) = 0$ e $((1+z)^3) = 0$ .

Gabarito:

Resolução:

Seja o número complexo Z = a + bi, onde a,b são reais.

Seja

$z^{3} = (a+bi)^{3} = a^{3} - 3ab^{2} + i(3a^{2}b - b^{3})$ , a parte imaginária de Z é dada por $z(i)=i(3a^{2}b - b^{3})$ .

Temos duas situações seguintes:

I). z(i) = 0 Logo:

$(3a^{2}b - b^{3}) = 0$

$b(3a^{2} -b^{2}) = 0$

b= 0 ou $3a^{2} = b^{2}$

II). $(Z+1)^{3} = 0$

$(Z+1)^{3} = z^{3} + 3z^{2} + 3z + 1$

$(Z+1)^{3} = (a+bi)^{3} + 3(a+bi)^{2} + 3(a+bi) + 1$

$(Z+1)^{3} = (a^{3} -3ab^{2} + 3a^{2} -3b^{2} + 3a+ 1) + i(3a^{2}b -b^{3}+ 6ab+ 3b)$

Como a parte imaginária deve ser igual a zero:

$(3a^{2}b -b^{3}+ 6ab+ 3b) = 0$

Como em (I) $(3a^{2}b -b^{3}) = 0$ , obtemos:

6ab + 3b = 0

3b( 2a + 1 ) = 0 e $b eq 0$ pois é a parte imaginária do complexo.

Logo, $a = frac{-1}{2}$

Substituindo o valor de a em (I):

$3.(frac{-1}{2})^{2} - b^{2} = 0$

$b^{2} = frac{3}{4}$

$b= pmfrac{sqrt3}{2}$

Poratnto serão duas soluções:

$z = frac{-1}{2} + frac{sqrt{3}i}{2}$ e $z = frac{-1}{2} - frac{sqrt{3}i}{2}$

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