Questão 8

ITA 2022

Matemática

(ITA - 2022 - 2ª fase)

Seja $Q$ um quadrilátero de vértices A, B, C e D cujos lados satisfazem $m(overline {AB}) = 5 = m (overline {CD})$ , $m(overline {BC}) = 3$ e $m(overline {DA}) = 8$ . Sabendo que $Q$ é inscrito em uma circunferência de raio $r$ , determine $r$ .

Gabarito:

Resolução:

Sejam p e q as diagonais desde quadrilátero ABCD. Pelo Teorema de Ptolomeu, segue que:

$pcdot q = overline{AB}cdotoverline{CD} + overline{BC}cdotoverline{DA}$

$pcdot q = 5cdot 5+3cdot 8$

$pcdot q = 25+24$

$herefore pcdot q = 49$

Daí, pelo Teorema de Hiparco:

$frac{p}{q} = frac{overline{AB}cdotoverline{DA} + overline{BC}cdotoverline{CD}}{overline{AB}cdotoverline{BC} + overline{CD}cdotoverline{DA}}$

$frac{p}{q} = frac{5cdot 8 + 3cdot 5}{5cdot 3 + 5cdot 8}$

$frac{p}{q} = frac{40 + 15}{15 + 40}$

$frac{p}{q} = 1$

$herefore p = q$

Substituindo este resultado no resultado obtido pelo Teorema de Ptolomeu, ficamos com:

$p^2=q^2=49$

$herefore p = q = 7$

Assim, escolhe-se um triângulo qualquer formado por vértices desde quadrilátero (perceba que qualquer triângulo desses está inscrito nessa mesma circunferência), digamos o triângulo ABC. Assim, temos duas formas de calcular a sua área: (i) pela fórmula de Heron; e (ii) pela fórmula da circunferência circunscrita ao triângulo. Igualando ambas as áreas, segue que:

(i) = (ii)

$sqrt{(frac{15}{2})cdot (frac{15}{2}-7)cdot(frac{15}{2}-5)cdot(frac{15}{2}-3)}=frac{7cdot 5cdot 3}{4r}\$