Questão 7
ITA 2022
(ITA - 2022 - 2ª fase)
Considere um tronco de pirâmide regular de altura
com bases hexagonais paralelas. Sabendo que o da maior base hexagonal mede
e que o ângulo diedral entre as faces laterias e a base do tronco mede 75°, determine o volume de
.
Gabarito:
Resolução:
Em uma vista lateral, de forma a enxergar o apotema do tronco de pirâmide, temos:
Podemos descobrir o valor do apotema utilizando o seno de 75°.
Utilizando o seno no triângulo:
Desta forma, temos algumas medidas dos trapézios que formam a lateral deste tronco de pirâmide:
Note que como se trata de um trapézio isósceles, a diferença entre as bases maior e menor são divididas em duas partes iguais. Desta forma, é possível utilizar um teorema de Pitágoras de forma que:
Assim, precisamos encontrar outra forma de relacionar a medida dos lados não paralelos do trapézio (x) com a medida da base menor (y).
Como as bases deste tronco de pirâmide são hexágonos regulares, a distância de seus vértices aos centros é igual à medidade de suas arestas, desta forma:
Podemos observar na visão lateral, agora de forma a enxergar a aresta lateral:
Desta forma, temos outro teorema de Pitágoras:
Como os dois teoremas de Pitágoras utilizados são iguais, pois se igualam a , temos que:
Conhecendo a medida das arestas de sua base maior e base maior, podemos calcular o volume do tronco de pirâmide.
Sendo a área da base maior e
a área da base menor.