Questão 3
ITA 2024
(ITA - 2024)
Considere duas situações: (i) uma partícula A de massa m e carga q, sob influência de uma campo elétrico constante é colocada para oscilar pela ação de uma mola de rigidez k e comprimento livre l0, ao longo do eixo x; (ii) uma segunda partícula, B, é conectada à A, pela mesma mola, na presença de
. A partícula B é neutra e tem massa m.
Desconsiderando efeitos de radiação eletromagnética e de atrito, determine:
a) o período de oscilação do sistema massa-mola na situação (i);
b) a frequência angular de oscilação da massa A em relação ao centro de massa na situação (ii);
c) a equação horária de cada partícula em (ii), sabendo que, inicialmente, a massa A está em repouso e passa pela origem do sistema de coordenadas, ao passo que a massa B também está em repouso e se encontra a uma distância l0 de A.
Gabarito:
Resolução:
a) Temos que
e também
Igualando tudo:
b) Encontrando o centro de massa da determinada situação:
Como temos que a frequência angular é:
Usando a massa reduzida:
c) Temos que na situação ii, teremos uma força externa atuanfo, que é a força elétrica. Podemos expressar:
Para esse valor de aceleração, encontramos a máxima deformação da mola, e com isso podemos encontrar equção horária de cada bloco.
Bloco A:
Nele temos atuantes a força elétrica e a força elástica:
A amplitude de oscilação é metade da deformação da mola.
Deformação inicial:
Final:
Teremos então, no referencial do centro de massa, que a posição inicial x do bloco A será:
Para encontrarmos agora a equação horária, basta unirmos a equação da mola com a posição inicial:
Substituindo:
Isso é relação ao centro de massa, porém temos que achar uma solução geral, sendo então em relação a Terra. A equação horária do centro de massa é:
A equação de A em relação à Terra será:
Essa é a equação de A em relação a Terra.
Agora para B. Como as massas são iguais, podemos afirmar que:
Fazendo essa relação:
E essa é a equação horária de B