Questão 5

ITA 2024

Física

(ITA - 2024)

Considere dois objetos idênticos inicialmente em equilíbrio térmico à temperatura T₁. Um refrigerador realiza trabalho W e faz um dos objetos atingir a temperatura T₂. Considere que os objetos não trocam calor com o meio externo e tudo acontece a pressão constante. Sendo C_p a capacidade térmica de cada objeto a pressão constante, qual o valor mínimo de W?

Dado: A variação de entropia $Delta S$ a pressão constante entre temperaturas $T_i$ e $T_f$ é $Delta S=C_pcdot ln(frac{T_f}{T_i})$

Gabarito:

Resolução:

O calor pode ser descrito como:

$Q=C_pcdot (T_f-T_i)$

O calor do corpo A:
$Q=C_pcdot (T_2-T_1)$

Do corpo B:
$Q=C_pcdot (T_3-T_1)$

Como o sistema é adiabático, a entropia total do sistema é nula, logo temos:

$Delta S_A+Delta S_B=0 ightarrow Delta S_A=-Delta S_B$

Usando os dados do enunciado:

$\C_pcdot ln(frac{T_2}{T_1})=-C_pcdot ln(frac{T_3}{T_1})\\ ln(frac{T_2}{T_1})=-1cdot ln(frac{T_3}{T_1})$

Aplicando as propriedades dos logaritmos:

$ln(frac{T_2}{T_1})=cdot ln((frac{T_3}{T_1})^{-1}) ightarrow ln(frac{T_2}{T_1})=ln(frac{T_1}{T_3})$

Usando a propriedade $e^{ln(x)}=x$

$frac{T_2}{T_1}=frac{T_1}{T_3} ightarrow T_3=frac{T_1^2}{T_2}$

O trabalho do refrigerador pode ser descrito como:

$W=Q+Delta U$

Como o refrigerador trabalha em ciclos, teremos que sua energia interna será igual a 0.

Sendo asim o trabalho do refrigerador é:

$W=Q_B+Q_A$

Substituindo:

$W=C_p(T_3-T_1)+C_p(T_2-T_1) ightarrow C_p(T_3+T_2-2T_1)$

Substituindo T3:

$W= C_p(frac{T_1^2}{T_2}+T_2-2T_1) ightarrow C_p(frac{T_1^2+T_2^2-2T_2T_2}{T_2})$

$W= C_p(frac{(T_1-T_2)^2}{T_2})$

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