Questão 65800

UFU 2020

Matemática

(UFU - 2020)

Considere as seguintes afirmações a respeito do polinômio $p(x)=(x^2+x^3)^{20}$

I. p(x) possui apenas duas raízes distintas.

Il. O grau de p(x) é igual a 100..

Ill. p(x) é divisível por x+1.
IV. O coeficiente de $x^{43}$ no desenvolvimento de p(x) é o número binomial ${inom{20}{2}}$ .

Assinale a alternativa que apresenta a(s) afirmativa(s) correta(s).

Apenas lll.

Apenas ll e lV.

Apenas l, lll, e lV.

Apenas l e lll.

Gabarito:

Apenas l e lll.

Resolução:

$(x^2+ x^3)^{20}$

$(x^2(1+x))^{20}$

$x^{40}(1+x)^{20}$

Essa expressão encontrada só é 0 quando $x=0$ e $x=-1$ , portanto, tem apenas 2 raízes.

II)

Como as potências são 40 e 20 o grau é 60

III)

É sim pois $x^{40}(1+x)^{20}$ um dos seus múltiplos é $(1+x)$

IV) $(1+x)^{20} = inom{20}{0}cdot 1^{20} cdot x^0 + inom{20}{1}cdot 1^{19} cdot x^1 + inom{20}{2}cdot 1^{18} cdot x^2 + inom{20}{3}cdot 1^{17} cdot x^3$

Logo, é falso.

Portanto apenas I e III verdadeiras.

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