Questão 65

UFU 2020

Matemática

(UFU - 2020 - 1ª FASE) Considere a função 𝑓: ℝ+ → ℝ definida por $f(x) = sqrt{kx^{2}+4x+2}$ , em que 𝑘 é uma constante real. Para que 𝑓 seja uma função afim, o valor de 𝑘 é um número

múltiplo de 4.

irracional.

negativo.

primo.

Gabarito:

primo.

Resolução:

Se f é uma função afim, então pode ser escrita na forma de ax + b, com a diferente de 0.

$sqrt{kx^{2} + 4x + 2} = ax+b$

$kx^{2} +4x + 2 = a^{2}x^{2} +2ax cdot b + b^{2}$

Pelas regras de polinômio, podemos igualar os termos correspondentes, tal que:

(I):

$b^{2} = 2 Rightarrow b = pm sqrt{2}$

(II)

$4 = 2ab Rightarrow 2asqrt{2} = 4$

$a = frac{4}{2sqrt{2}} = sqrt{2}$

(III)

$2a(-sqrt{2}) = 4 Rightarrow a = -sqrt{2}$

Portanto:

$k = a^{2} Rightarrow k = (sqrt{2})^{2} = 2$

2 é primo. Portanto, gabarito D.

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