Questão 66

UFU 2020

Matemática

(UFU - 2020 - 1ª FASE) As imagens abaixo ilustram o projeto de um escorregador infantil (à esquerda) e sua representação sobre o sistema de coordenadas cartesianas (à direita), dada pelo gráfico da função f(x) = a + cos(x+b), em que a e b são constantes reais, com - $pi$ /2 ≤ b ≤ $pi$ /2.

Se as alturas máxima e mínima desse escorregador ocorrem nos pontos de coordenadas ( $pi$ /6, 2) e (7 $pi$ /6, 0), respectivamente, então a+b é igual a

1 - $pi$ /6.

2 - $pi$ /6.

2 + $pi$ /6.

1 + $pi$ /6.

Gabarito:

1 - $pi$ /6.

Resolução:

A imagem da função do cosseno varia entre -1 e 1.

Portanto, quando temos uma função do tipo $a + cos(x + b)$ a imagem passa a ser (a-1, 1+a). Pois a amplitude desloca a função no eixo y.

Se a altura máxima é 2 e a altura mínima é zero. Podemos fazer:

$a-1 = 0 Rightarrow a = 1$

$1+a = 2 Rightarrow a = 1$

Assim, o a vale 1.

Agora, substituímos algum dos pontos e encontramos o b.

$f(frac{pi}{6}) = 2 Rightarrow 2 = 1 + cos(frac{pi}{6} + b)$

$cos(frac{pi}{6}+b) = 1$

O cosseno irá valer 1 em 0º:

$frac{pi}{6} + b = 0$

$b = -frac{pi}{6}$

Somando a + b:

$a+b = 1 -frac{pi}{6}$

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