Questão 72

UFU 2021

Matemática

(UFU - 2021 - 1ª fase) Uma grade quadriculada é desenhada no plano cartesiano e são marcados os pontos A(0,0), B(6,6), X(2,2) e Y(4,5), conforme a figura abaixo. Um caminho de A até B é uma poligonal sobre as linhas pontilhadas da grade, iniciando no ponto A, e deslocando-se somente para a direita ou para cima até o ponto B. Um exemplo de caminho de A até B que não passa pelos pontos X e Y está ilustrado.

Considerando-se todos os caminhos de A até B e escolhendo um desses caminhos aleatoriamente, qual é a probabilidade de que ele passe pelos pontos X e Y?

$frac{15}{77}$

$frac{9}{77}$

$frac{12}{77}$

$frac{3}{22}$

Gabarito:

$frac{15}{77}$

Resolução:

A primeira ideia que precisamos compreender é que a quantidade de vezes que andamos para o lado (L) e para cima (C) para chegar de um ponto a outro é sempre constante, independente do caminho percorrido.

Perceba que de A para X temos 2L e 2C. Daí, fazemos a permutaçao desses valores para saber quantos caminhos possíveis existem:

$P_{4}^{2,2} = frac{4!}{2!2!} = 6$

De X para Y:

$P_{5}^{3,2} = frac{5!}{3!2!} = frac{5 cdot 4 cdot 3 cdot 2}{3 cdot 2 cdot 2} = 10$

De Y para B:

$P_{3}^{2,1} = frac{3!}{2!} = 3$

Fazendo o produto todo: 6x3x10 = 180

Agora, calculamos as possibilidades totais. Temos 6 caminhos pro lado e 6 caminhos subindo, logo:

$P_{12} ^{6,6} = frac{12!}{6!6!} = 924$

Logo a probabilidade é:

$frac{180}{924} = frac{15}{77}$

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