Questão 65

UFU 2021

Matemática

(UFU - 2021 - MEDICINA)

Na figura abaixo, M e N são pontos médios de dois lados paralelos de um retângulo.

Sabendo-se que um dos lados do retângulo mede 6 𝑐𝑚 e que a área da região sombreada é igual a 12 𝑐𝑚² , então o perímetro desse retângulo, em centímetros, é igual a

16.

20.

28.

32.

Gabarito:

28.

Resolução:

Sejam $y$ a medida da altura do retângulo e $2x$ a medida da base do retângulo como mostra a figura a baixo:

Note que os ângulos $Nwidehat{D}M$ e $Awidehat{M}D$ são alternos internos e as duplas de ângulos $Awidehat{M}D$ com $Nwidehat{B}C$ e $Nwidehat{D}M$ com $Bwidehat{N}C$ são correspondentes, com isso temos que esses 6 ângulos tem mesma medida $alpha$ , logo os seus complementares $eta$ também serão, como mostra a figura a baixo:

Como os ângulos não adjacentes são congruentes, assim como os lados paralelos, o quadrilátero MBND é um paralelogramo e o seguimento AC divide esse paralelogramo ao meio, sendo assim a área desse paralelogramo é o dobro da área em cinza. Algebricamente essa área pode ser escrita como:

$A_{MBND}=xcdot y=2cdot12=24$

Dai segue que

$xcdot y=24$

Como os triângulos AMD e CNB tem dois ângulos e o lado entre eles congruentes, esses dois triângulos são congruentes, logo a sua área é a mesma, então

$A_{AMD}=A_{CNB}=frac{xcdot y}{2}$

Como $xcdot y=24$

$A_{AMD}=A_{CNB}=frac{24}{2}=12$

Com isso temos que a área do retângulo ABCD será:

$A_{ABCD}=A_{MBND}+2cdot A_{AMD}$

$A_{ABCD}=24+2cdot 12$

$A_{ABCD}=48,,cm^2$

Considerando que um dos lados mede 6 cm:

$bcdot h=48,,cm^2$

$6cdot h=48,,cm^2$

$h=8,,cm$

Logo o perímetro da figura será:

$P=6+8+6+8=28$

Portanto, a alternativa correta é a alternativa C)

Questões relacionadas

Questão 65

(UFU - 2021 - 1ª fase) Sejam 𝑓 e 𝑔 funções reais a valores reais, dadas por 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏 e 𝑔(𝑥) = 3𝑥 − 𝑎, onde 𝑎 e 𝑏 são constantes reais, 𝑎 ≠ 0. Considere a f...

Ver questão

Questão 66

(UFU - 2021 - 1ª fase) A foto de uma folha obtida a partir da câmera de um telefone resulta, muitas vezes, numa imagem um pouco distorcida por causa da inclinação das m&a...

Ver questão

Questão 67

(UFU - 2021 - 1ª fase) A figura a seguir é composta por uma grade quadriculada de 10 𝑐𝑚 por 8 𝑐𝑚, formada por quadrados de lados medindo 1 𝑐𝑚, sobreposta por um círculo central...

Ver questão

Questão 68

(UFU - 2021 - 1ª fase) A tabela a seguir registra a quantidade diária da venda de um determinado medicamento durante os sete primeiros dias do mês de maio, e as incógnita...

Ver questão