Questão 66

UFU 2021

Matemática

(UFU - 2021 - MEDICINA)

Sejam 𝑎, 𝑏 e 𝑐 três algarismos do conjunto {0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Sabendo-se que 𝑎, 𝑏 e 𝑐 estão, nessa ordem, em progressão aritmética crescente, 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 18 e 𝑎 × 𝑏 × 𝑐 = 162, a fração geratriz da dízima periódica 0, 𝑎𝑏𝑐𝑎𝑏𝑐 … é igual a

$frac{52}{111}$

$frac{63}{111}$

$frac{107}{111}$

$frac{41}{111}$

Gabarito:

$frac{41}{111}$

Resolução:

Como a, b e c forma uma progressão aritmética, nessa ordem, temos que: a = b - r e c = b + r

Substituindo nas equações do enunciado, temos:

$a + b + c = 18$

$b - r + b + b + r = 18 Leftrightarrow 3b = 18 Leftrightarrow b = 6$

$a cdot b cdot c = 162$

$(b-r) cdot b cdot (b+r) = 162 Leftrightarrow$

$Leftrightarrow (6-r) cdot 6 cdot (6+r) = 162 Leftrightarrow$

$Leftrightarrow 36 - r^2 = 27 Leftrightarrow r^2 = 9 Leftrightarrow r = pm3$

Como a PA é crescente, temos que r = 3.

Dessa maneira teremos que a = 3, b = 6 e c = 9.

A dízima periódica será: 0,369369... e sua fração geratriz será:

$0,369369... = frac{369}{999} = frac{41}{111}$

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