Questão 67

UFU 2021

Matemática

(UFU - 2021 - MEDICINA)

O conjunto solução, no intervalo [0, 2𝜋], da inequação trigonométrica cos(2𝑥) + 3 cos(𝑥) + 2 ≤ 0, é dada por

$[frac{2pi}{3},frac{4pi}{3}]$

$[frac{2pi}{3},pi]$

$[frac{pi}{3},frac{5pi}{3}]$

$[0,frac{pi}{3}];; ext {U};;[frac{5pi}{3},2pi]$

Gabarito:

$[frac{2pi}{3},frac{4pi}{3}]$

Resolução:

Vamos abrir o arco duplo.

$cos(2x) = 2cos^2{x} -1$

Logo:

$2cos^{2}x -1 +3cosx+2 leq 0$

$2cos^{2}x + 3cosx + 1 leq 0$

Vamos fazer uma mudança de variável no cosseno:

$y = cosx$

Temos:

$2y^{2} +3y +1 leq 0$

Encontrando as raízes dessa equação:

$Delta = 3^{2} - 4 cdot 2 cdot 1 = 1$

$y = frac{-3 pm 1}{4}$

$y = - 1 ou y = -frac{1}{2}$

Ou seja:

$cosx = - 1 ou cos x = -frac{1}{2}$

Pelo estudo do sinal da função teremos que essa função é negativa para:

$-1 leq cos x leq -frac{1}{2}$

Assim, o conjunto solução dessa inequação é $[frac{2pi}{3}, frac{4pi}{3}]$

Questões relacionadas

Questão 65

(UFU - 2021 - 1ª fase) Sejam 𝑓 e 𝑔 funções reais a valores reais, dadas por 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏 e 𝑔(𝑥) = 3𝑥 − 𝑎, onde 𝑎 e 𝑏 são constantes reais, 𝑎 ≠ 0. Considere a f...

Ver questão

Questão 66

(UFU - 2021 - 1ª fase) A foto de uma folha obtida a partir da câmera de um telefone resulta, muitas vezes, numa imagem um pouco distorcida por causa da inclinação das m&a...

Ver questão

Questão 67

(UFU - 2021 - 1ª fase) A figura a seguir é composta por uma grade quadriculada de 10 𝑐𝑚 por 8 𝑐𝑚, formada por quadrados de lados medindo 1 𝑐𝑚, sobreposta por um círculo central...

Ver questão

Questão 68

(UFU - 2021 - 1ª fase) A tabela a seguir registra a quantidade diária da venda de um determinado medicamento durante os sete primeiros dias do mês de maio, e as incógnita...

Ver questão