Questão 72

UFU 2021

Matemática

(UFU - 2021 - MEDICINA)

Um cone reto está inscrito num cubo de lado ℓ, de modo que a base do cone esteja contida numa face do cubo, e uma esfera de raio 𝑅 está inscrita neste cone, como ilustra a figura abaixo.

A razão entre o raio 𝑅 e o lado ℓ é igual a

$frac{sqrt{5}-1}{4}$

$frac{sqrt{5}+1}{4}$

$(sqrt{5}-1); pi$

$(sqrt{5}+1); pi$

Gabarito:

$frac{sqrt{5}-1}{4}$

Resolução:

Na imagem temos uma visão lateral dos sólidos:

Por pitágoras temos:

$g^2 = l^2 + (frac{l}{2})^2$

$g^2 = l^2 + frac{l^2}{4}$

$g = sqrt{frac{5l^2}{4}}$

$g = frac{5lsqrt{5}}{2}$

Por semelhança de trinângulos em AEC e ADO:

$frac{g}{l-R} = frac{frac{l}{2}}{R}$

$g cdot R = frac{l cdot (l-R)}{2}$

$frac{5lsqrt{5}}{2} cdot R = frac{l cdot (l-R)}{2}$

$l = R(sqrt{5} + 1)$

Fazendo agora a proporção pedida:

$frac{R}{l} = frac{R}{R(sqrt{5}+1)}$

$frac{R}{l} = frac{1}{sqrt{5}+1}$

$frac{R}{l} = frac{sqrt{5}-1}{(sqrt{5}+1)cdot (sqrt{5}-1)}$

$frac{R}{l} = frac{sqrt{5}-1}{4}$

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