Questão 85

UNESP 2013

Matemática

(UNESP - 2013/2 - 1a fase)

Uma partícula em movimento descreve sua trajetória sobre semicircunferências traçadas a partir de um ponto P₀ , localizado em uma reta horizontal r, com deslocamento sempre no sentido horário. A figura mostra a trajetória da partícula, até o ponto P₃ , em r. Na figura, O, O₁ e O₂ são os centros das três primeiras semicircunferências traçadas e seus respectivos raios.

A trajetória resultante do movimento da partícula será obtida repetindo-se esse comportamento indefinidamente, sendo o centro e o raio da n-ésima semicircunferência dados por O_n e respectivamente, até o ponto n P , também em r. Nessas condições, o comprimento da trajetória descrita pela partícula, em função do raio R, quando n tender ao infinito, será igual a

Gabarito:

Resolução:

Comprimento da circunferência - C

Raio - R

$C = 2 pi R$

Portanto, temos:

$frac{C}{2} = pi R$

Temos que:

Até P1:

$C_{1} = pi R$

Até P2:

$C1 + C2 = pi R + pi frac{R}{2}$

Até P3:

$C1 + C2 + C3 = pi R + pi frac{R}{2} + pi frac{R}{4}$

Então até Pn, temos:

$C1 + C2 + C3 + ... + Cn = pi R + pi frac{R}{2} + pi frac{R}{4} + ... + pi frac{R}{2^{n}}$

Então:

$S_{infty } = frac{a_{1}}{1-q} = frac{1}{1-frac{1}{2} } = frac{1}{frac{1}{2}} = 2$

Portanto, temos que o comprimento pedido é dado por $pi R . 2$

Gabarito: E

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