Questão 87

UNESP 2013

Matemática

(UNESP - 2013/2 - 1a fase)

A soma de quatro números é 100. Três deles são primos e um dos quatro é a soma dos outros três. O número de soluções existentes para este problema é

Gabarito:

Resolução:

Sejam $x, y, z, w$ os números pedidos e $w$ é o número não primo.

Então, pelo enunciado, temos:

$x+y+z+w=100$ e $x+y+z=w$

Logo:

$w+w=100$

$w=50$

Então:

$x+y+z=50$

Como a soma desses 3 números é par e eles são primos, logo 2 devem ser ímpares e 1 par (pois só existe apenas um primo par). Chamando $x=2$ :

$2+y+z=50$

$y+z=48$

Agora vamos analisar os primos até 48:

3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47

Logo as únicas somas possíveis:

$5+43, 7+41, 11+37, 17+31, 19+29$

Portanto existem 5 soluções para o problema.

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