Questão 51366

UNESP 2013

Matemática

(UNESP - 2013/2 - 2 FASE) Uma semicircunferência de centro O e raio r está inscrita em um setor circular de centro C e raio R, conforme a figura.

O ponto D é de tangência de $overline{BC}$ com a semicircunferência. Se $overline{AB}$ = s, demonstre que R · s = R · r + r · s.

Gabarito:

Resolução:

Primeiramente, vamos traçar uma reta até do ponto B até E:

E veja que a áre do triâmgulo CBE, vai ser:

$A_{CBE} = frac{R.s}{2}$

Agora vamos traçar outra reta, em OB:

E veja que a área do triângulo OBE, será:

$A_{OBE} = frac{r.s}{2}$

Então a área do triângulo CBE será igual a área do triângulo OBE + área do triângulo COB

Temos que a área do triângulo COB, é dada por:

$A_{COB} = frac{r.R}{2}$

Então, voltando na informação que a área do triângulo CBE será igual a área do triângulo OBE + área do triângulo COB

$A_{CBE} = A_{OBE } + A_{COB}$

$frac{R.s}{2} = frac{r.s}{2}+ frac{r.R}{2}$

Portanto,

$R.s = r.s + r.R$

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